插值法與lagrange插值-文庫(kù)吧資料
2025-05-21 09:59本頁(yè)面
【正文】 g e? 的 插值???njjjn xlyxL0)()(滿足 nixfxL iin ,1,0)()( ???],[ bax ??但 )()( xfxL n ?不會(huì)完全成立 因此 ,插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差 ,那么我們 怎樣估計(jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？ 2 插值余項(xiàng)與誤差估計(jì) )()(],[ xPxfba n的插值多項(xiàng)式為上假設(shè)在區(qū)間)()()( xPxfxR nn ??令 上顯然在插值節(jié)點(diǎn)為 ),1,0( nix i ??)()()( iniin xPxfxR ?? ni ,1,0,0 ???個(gè)零點(diǎn)上至少有在因此 1],[)( ?nbaxR n)()()( 1 xxKxR nn ?? ?設(shè) )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ??為待定函數(shù))( xK其中 )()()()()( 1 xxKxPxfxR nnn ???? ?)()()()( 1 xxKxPxf nn ??? ?0? 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t P t K x t?? ?? ? ?若引入輔助函數(shù) )( x?則有 0?的區(qū)分與注意 xt)( ix?且)()()( 1 inin xxKxR ??? ?0?, , ( ) [ , ] 2,ix x t a b n???因此若令 在區(qū)間 上至少有 個(gè)零點(diǎn)即 ,0)( ?x?ni ,1,0 ??nix i ,2,1,0,0)( ????1( ) ( ) , ( ) ,()nnP x x f xt???由于 和 為多項(xiàng)式因此若 可微則 也可微)()()()( 1 xxKxPxf nn ???? ?)()()()( 1 inini xxKxPxf ???? ?根據(jù) Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 1),()( ?? nbat?再由 Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 nbat ),()(? ??依此類推 ( , ) , ( ) 1a b t n?? ?在區(qū)間 內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn) 使得 的 階導(dǎo)數(shù)為零0)()1( ?? ?? n)()1( tn ??)()()()()( 1 txKtPtft nn ???? ??)()()()( )1( 1)1()1( txKtPtf nnnnn ???? ??? ?由于 )()()()()( )1( 1)1()1()1( ?????? ????? ??? nnnnnn xKPf因此 )!1()()()1( ???? ? nxKf n ? 0?)!1()()( )1(???nfxK n ?)()()( 1 xxKxR nn ?? ? )()!1()(1)1(xnf nn???? ??所以 )()()( 截?cái)嗾`差的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式稱 xPxR nn定理 1. 0( ) [ , ] 1 , ( ) ( )[ , ] , { }[ , ] , [ , ] ,nniif x a b n P x f xa b n xa b x a b??? ? ?設(shè) 在
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