插值法與最小二乘法-文庫吧資料
2025-05-05 07:50本頁面
【正文】 ff?????112211 ],[],[???????iiiiiixxxxfxxf332121 ],[],[?????????iiiiiiiixxxxxfxxxf333!3 hfi??? ?27 ],[ 1 miii xxxf ?? ?依此類推 mimhmf???! mmimhmf??? ?!],[ 10 kxxxf ?kkhkf???!0kkkhkf???!28 三、 Newton基本插值公式 )())(())(()()(110102022????????????nn xxxxxxaxxxxaxxaaxP??設(shè)插值多項式 滿足插值條件 nifxPii ,1,0,)( ???則待定系數(shù)為 00 fa ? ],[ 101 xxfa ?],[ 2102 xxxfa ?],[ 10 nn xxxfa ??…… 29 ],[ 10 kxxxxf ?],[ 110 ?kxxxxf ?則視為一個節(jié)點若將 ,),1,0(, nixx i ???因此可得 )](,[)(000 xxxxffxf ???)) ) (](,[],[( 0110100 xxxxxxxfxxff ?????))(](,[)](,[ 10100100 xxxxxxxfxxxxff ?????????? ??????????njjnnkkjjk xxxxxxfxxxxxff010110100 )(],[)(],[ ??kkkxxxxxfxxxxf??? ? ],[],[ 10110 ??)](,[],[ 1010 kkk xxxxxxfxxxf ??? ??事實上 , 30 10 0 11 0( ) [ , , , ] ( )knn k jk jN x f f x x x x x?? ?? ? ?? ?記 ????nkkk xxxxff1100 )(],[ ??????? 10)(kjjxx)(xk?為 k次多項式 10 0 1 0 11 00( ) [ , , , ] ( ) [ , , , , ] ( )knnk j n jk jjf x f f x x x x x f x x x x x x?? ??? ? ? ? ?? ??0100 1 1( ) [ , , , , ] ( )[ , , , , ] ( )nn n jjnnR x f x x x x x xf x x x x x???????則 ( ) ( ) ( )nnf x N x R x??( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 ,i n i n i n if x N x R x N x i n? ? ? ?稱 ()nNx 為 ()fx 的 n 次 N e w to n 插 值 多 項 式 . 31 )()()( xNxfxR nn ?? )()!1( )( 1)1(xnf nn???? ??由插值多項式的唯一性 ,Newton插值公式的余項為 0 1 1[ , , , , ] ( )nnf x x x x x? ??)(xRk )(],[ 1110 xxxxf kk ??? ?? nk?一般地 ,當(dāng) k階差商接近一個常數(shù)時 , k+1階差商會接近于零 ,這時 ,取 Newton插值 估計誤差的 重要公式 32 )(xRn )()!1( )( 1)1(xnf nn???? ?? )(],[ 110 xxxxxf nn ?? ??)!1()()1(???nf n ?],[10 nxxxxf ?!)()(kf k ??],[10 kxxxf ?另外從誤差式 得到 推廣到一般情形 , 有 ? 位于這些節(jié)點之間 . 當(dāng)節(jié)點等距時 ()0 ()kkkkkkff fhh ??? ?? ? 位于這些節(jié)點之間 . 33 解 作差商表 ix ()ifx 1 0 2 2 2 3 6 4 1 5 20 7 1 0 6 90 70 21 5 1 44 3 2( ) 0 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 2 )1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 5 )1 1 4 2 6 2 3 0N x x x xx x x xx x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1
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