【正文】 ? ??32 0294 .? ??12[ , , ]i i if x x x??0 2 0 3 3 3 3 3 0 0 1 6 6 791.. .? ???7解： 從而得二階牛頓基本差商公式為 2 1 0 3 3 3 3 3 1 0 0 1 6 6 7 1 4( ) . ( ) . ( ) ( )P x x x x? ? ? ? ? ?2 7 2 6 9 9 9 2( ) . .P ?因此計(jì)算得 的近似值為 7二、代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在 唯一性 上的代數(shù)插值多項(xiàng)式為在區(qū)間設(shè)函數(shù) ],[)( baxfy ?nnn xaxaxaaxP ????? ?2210)(且滿足 niyxP iin ,2,1,0)( ???(2) (3) 滿足線性方程組的系數(shù)即多項(xiàng)式 nn aaaaxP ,)( 210 ?00202022 yxaxaxaa nn ????? ?11212110 yxaxaxaa nn ????? ?nnnnnn yxaxaxaa ????? ?2210???????????(4) 上述方程組的系數(shù)行列式為 n+1階范德蒙行列式 nnnnnnxxxxxxxxxV????????212110200111? ? ??? ????10 1)(ninijij xxji xx ??0由 Cramer法則 ,線性方程組 (4)有唯一解 定理 1. nnn xaxaxaaxP ????? ?2210)(niyxP iin ,2,1,0)( ???),( jixx ji ??若插值節(jié)點(diǎn) 則滿足插值條件 的插值多項(xiàng)式 存在且唯一 . 注： 若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，則插值多項(xiàng)式 不唯一 。 模仿 Lagrange 多項(xiàng)式的思想，設(shè) 解： 首先， P 的階數(shù) = 3 ? ? ? 2 1 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ? 0 i i i x h x1 f ’ x h x f x P ? h0(x) 有根 x1, x2， 且 h0’(x1) = 0 ? x1 是重根。 167。 它實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成 ， 在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù) ， 從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué) 樣條 這一概念 。000( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )nnnS x S x S x S xS x S x? ? ? ? ? ?? ? ?　 　0 nyy?且 此 時(shí)這樣確定的樣條函數(shù) S(x)稱為周期樣條函數(shù)； 加上任何一類邊界條件 (至少兩個(gè) )后 一般使用第一、二類邊界條件 , 常用第二類邊界條件 樣條插值函數(shù)的建立 即 jjk yxS ?)()(lim)(lim 1 xSxS kxxkxxkk ??? ???)(lim)(lim 1 xSxS kxxkxxkk ?????? ??)(lim)(lim 1 xSxS kxxkxxkk ???????? ??1,2,1 ?? nk ?nj ,1,0 ??1,2,1 ?? nk ?1,2,1 ?? nk ?km?00 )( fxS ??? nn fxS ??? )(???????00 )( fxS ????? nn fxS ???)(或 可直接利用分段三次 Hermit插值，只要假定 ( ) ( 0 , 1 , , ) ( ) ( 0 , 1 , , )j j j jS x m j n S x y j n? ? ? ? ?　 再 由 　0( ) [ ( ) ( ) ]nj j j jjS x y x m x??????可得 nj ,1,0 ??插值多項(xiàng)式上的兩點(diǎn)三次表示為將 H er m i t exxxS kkk ],[)( 1?)(xSk )()()()()( )(11)(0)(11)(0)(3 xmxmxyxyxH kkkkkkkkk ???? ?? ????????????????????111 21kkkk xxxxy21??????????? kkkxxxx? ?kk xxm ??211????????????kkkxxxx 21??????????? kkkxxxx? ?11 ?? ?? kk xxm????????????? kkkk xxxxy121211????????????kkkxxxx1,1,01 ???? ? nkxxh kkk ?，令kkkkkk yxxhxxhxS 213 )()(2)(?????1231 )()(2?? ????kkkkk yxxhxxhkkkk mxxhxx 212 )()(????1221 )()(?? ???kkkk mxxhxx加以整理后可得 (10) )()2(6)( 13 1 kkkkkk yyhxxxxS ????????kkkk mhxxx21426 ????121246?????kkkk mhxxx)(lim)(lim 1 xSxS kxxkxxkk??? ????? ??1,2,1 ?? nk ?由條件 并整理后得求二階導(dǎo)數(shù)對(duì) ,)( xS k)(lim xS kxxk???? )(6 12 kkkyyh ?? ? kkmh4? 12 ?? kkmh)(lim 1 xS kxxk ????? )(6 121????? kkkyyh 112??? kkmh kkmh14??(11) 由于以上兩式相等 ,得 11111)11(21??????? kkkkkkkmhmhhmh )(321121??? ????kkkkkkhyyhyy1,1 ?? nk ? 個(gè)未知量個(gè)方程共個(gè) 1,1 ?? nn得并加以整理除上式的兩邊用 ,111 kk hh??11kkkhhh???1kkkhhh??1km ? 2 km??1km ?1 1 11 1 13 ( )k k k k k kk k k k k kh y y h y yh h h h h h? ? ?? ? ???? ? ? ???112k k k k km m m?????? kg?1???kkkk hhh?11???? kkkk hhh?)(3 111kkkkkkkkk hyyhyyg ???? ??? ??1,1 ?? nk ?1,1 ?? nk ? 個(gè)未知量個(gè)方程共個(gè) 1,1 ?? nn基本方程組 如果問(wèn)題要求滿足第一類 (一階 )邊界條件 : 00 )( fxS ??? nn fxS ??? )(00 fm ?? nn fm ??即 (12) 基本方程組化為 n1階方程組 0112112 fgmm ???? ??kkkkkk gmmm ??? ?? 11 2 ?? 2,3,2 ?? nk ?nnnnnn fgmm ???? ????? 11121 2 ?????????將上式化為矩陣形式 ???????????????????????222222122433221nnn???????????????????????????????????12321nnmmmmm??????????????????????????????nnnnfggggfg11232011????(13) (14) 這是一個(gè)三對(duì)角方程組 如果問(wèn)題要求滿足第二類 (二階自然 )邊界條件 : 00 )( fxS ????? nn fxS ????? )(時(shí)，稱為自然邊界條件00 ?????? nff由 (11)式 ,可知 )()2(6)( 013001000 yyhxxxxS ??????020100 426 mhxxx ???120100 246 mhxxx ???)(6 0120yyh ?? 004 mh? 102 mh?0f ??? (15) )(6)( 1211 ??? ????? nnnnn yyhxS 112??? nnmh nnmh14?? nf ???(16) 整理后得的方程式是關(guān)于 ,)16)(15( 110 nn mmmm ?0000110 232 fhhyymm ??????nnnnnnn fhhyymm ?????? ???? 23211110g?ng?(17) (18) 與 基本方程組 (12)聯(lián)合 ,并化為矩陣形式 ,得 ??????????????????????212222121132211nn????????????????????????????????nnmmmmm1210????????????????????????nnggggg1210??(19) (19)式與 (14)一樣 ,都是三對(duì)角方程組 ,解是唯一的； 后解出式或通過(guò) nmmm ,)19()14( 10 ?式代入將 )10(, 10 nmmm ?)()(,),(),( 110xSxSxSxS n三次樣條插值函數(shù)從而得到便可得到 ??例 1. 對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值 2431)(54213210kkxfxk的近似值并求插值函數(shù)的三次樣條求滿足自然邊界條件)3(),(0)()( 0fxSxSxS n ??????解 : 由 (12)式可得 321 ?? 312 ??311 ?? 322 ??1???kkkk hh h?11???? kkkkhhh? k???1291 ?g 272 ??g60 ?g 63 ??g????????????213/223/13/123/212????????????3210mmmm?????????????3210gggg由 (19)式得基本方程組 819,45,47,8173210 ?????? mmmm解方程組得：將上述結(jié)果代入 (10)式 )(3 111kkkkkkkkk h yyh yyg ???? ??? ??000010 23 fhh yyg ?????nnnnnn fhh yyg ????? ??? 23 111211478381)( 230 ??????? xxxxxS421478381)( 231 ??????? xxxxxS5433410 384583)( 232 ?????? xxxxxS211478381 23 ?????? xxxx42