【正文】 ?式代入將 )10(, 10 nmmm ?)()(,),(),( 110xSxSxSxS n三次樣條插值函數(shù)從而得到便可得到 ??例 1. 對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值 2431)(54213210kkxfxk的近似值并求插值函數(shù)的三次樣條求滿足自然邊界條件)3(),(0)()( 0fxSxSxS n ??????解 : 由 (12)式可得 321 ?? 312 ??311 ?? 322 ??1???kkkk hh h?11???? kkkkhhh? k???1291 ?g 272 ??g60 ?g 63 ??g????????????213/223/13/123/212????????????3210mmmm?????????????3210gggg由 (19)式得基本方程組 819,45,47,8173210 ?????? mmmm解方程組得：將上述結(jié)果代入 (10)式 )(3 111kkkkkkkkk h yyh yyg ???? ??? ??000010 23 fhh yyg ?????nnnnnn fhh yyg ????? ??? 23 111211478381)( 230 ??????? xxxxxS421478381)( 231 ??????? xxxxxS5433410 384583)( 232 ?????? xxxxxS211478381 23 ?????? xxxx421478381 23 ?????? xxxx543341 0384583 23 ????? xxxx????????)( xS417)3()3( ?? Sf定理 . 次樣條插值函數(shù)，滿足任意邊界條件的三為節(jié)點(diǎn)是以設(shè),),1,0()(],[)( 2 nkxxSbaCxf k ???,m i n,m a x, 10101 iniiniiii hhhxxh ??????? ???? ?設(shè) 時(shí)則當(dāng) ??? ch?)()(],[)()( xfxfbaxSxS ?? 和上一致收斂到在和最后，介紹一個(gè)有用的結(jié)果 則有且若 ],[)( 4 baCxf ?)(|)()(|m a x 4)()( kkkbxa hoxSxf ??? ??2,1,0?k小結(jié) 曲線擬合 當(dāng)函數(shù)只在 有限點(diǎn)集 上給定 函數(shù)值 ，要在包含該點(diǎn)擊的區(qū)間上 用公式給出 函數(shù)的 簡(jiǎn)單表達(dá)式 ，這些都涉及到在區(qū)間 [a,b]上 用簡(jiǎn)單函數(shù) 逼近 已知復(fù)雜函數(shù) 的問題，這就是函數(shù)逼近問題。 插值法就是函數(shù)逼近問題的一種 擬解決的問題： ，給出在包含該點(diǎn)集的區(qū)間上函數(shù)的簡(jiǎn)單表達(dá)式 函數(shù)逼近 —— 對(duì)函數(shù)類 A中給定的函數(shù) f(x)，記作 要求在另一類簡(jiǎn)單的便于計(jì)算的函數(shù)類 B中求函數(shù) 使 p(x)與 f(x)的誤差在 某種度量意義 下最小。 ( ) ,f x A?( ) ,p x B?逼近問題 函數(shù)逼近 曲線擬合 實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系 ,下表 是實(shí)際測(cè)定的 24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù) 是記錄 : 編 號(hào) 拉伸倍數(shù) 強(qiáng) 度 編 號(hào) 拉伸倍數(shù) 強(qiáng) 度1 13 5 2 2 14 53 15 6 4 16 5 17 66 18 7 3 19 8 8 20 8 79 4 4 21 10 4 22 9 811 23 12 24 10 ii yx ii yx1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789纖維強(qiáng)度隨拉伸 倍數(shù)增加而增加 系要關(guān)系應(yīng)是線性關(guān)的主與拉伸倍數(shù)因此可以認(rèn)為強(qiáng)度xy并且 24個(gè)點(diǎn)大致分 布在一條直線附近 xxy 10)( ?? ??為待定參數(shù)其中 10 , ??越接近越好樣本點(diǎn)與所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)我們希望 ),)(()( 10 ii yxxxy ?? ??必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn) (1) 仍然是已知 x1 … xm 。 y1 … ym, 求一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù) P(x) ? f(x)。 但是 ① m 很大； ② yi 本身是測(cè)量值，不準(zhǔn)確，即 yi ? f (xi) 這時(shí)沒必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) ? yi 總體上 盡可能小。 使誤差在某種度量意義下最小 常見做法： ? 使 最小 /* minimax problem */ |)(|m a x1 iimi yxP ???太復(fù)雜 ? ? 使 最小 ???miii yxP1|)(|不可導(dǎo)，求解困難 ? ? 使 最小 /* LeastSquares method */ ???miii yxP12|)(|最小二乘法的基本概念 iii yxy ?? )(?令一般使用 ???mii0222 ??在回歸分析中稱為殘差 ????miii yxy02))((準(zhǔn)偏離程度大小的度量標(biāo)與數(shù)據(jù)點(diǎn)作為衡量 ),()( ii yxxy稱為平方誤差 在回歸分析中稱為殘差平方和 從而確定 (1)中的待定系數(shù) ???mii0222 ?? ????miii yxy02))((注意 (1)式是一條直線 關(guān)系的關(guān)系并不一定是線性但 yx ,因此將問題一般化 )(, xSyyx ?的關(guān)系為設(shè)?來自函數(shù)類其中 )( xS 來自線性函數(shù)類中如 )()1( xy為給定的一組數(shù)據(jù)設(shè) ),1,0)(,( miyx ii ??),1,0)(( nixi ??? ?的基函數(shù)為設(shè)函數(shù)類 mn ?一般要求即生成的函數(shù)集是由也稱 ,),1,0)(( nixi ??? ?)}(,),(),({ 10 xxxs p a n n??? ??????mii0222 ?? ????miii yxS02))((仍然定義平方誤差 ???njjj xaxS0)()( ???我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是 )(* xS中選取一個(gè)函數(shù)在函數(shù)類 ????njjj xaxS0* )()(* ?)(*)(*)(* 1100 xaxaxa nn ??? ???? ?22*? ????miii yxS02))(*(??????miiixS yxS02)())((mi n22)(m in ???? xS中的任意函數(shù)為其中 ?? ??mjjj xaxS0)()( ?(2) (3) 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法的方法為的求函數(shù)稱滿足條件 ???njjj xaxS0* )()(*)3( ?為最小二乘解???njjj xaxS0* )()(* ?為擬合系數(shù)為擬合函數(shù) ),1,0(,)()(0njaxaxS jnjjj ??? ???),1,0(,)( njaxS j ??如何求擬合系數(shù)后在確定了擬合函數(shù)呢？滿足擬合條件使得 )3()()(*0*???njjj xaxS ?誤差稱為最小二乘解的平方22*?? ?? ???miinjijj yxa020))(( ?????miii yxS02))((法方程組 22????njjj xaxS0)()( ?由 的函數(shù)為擬合系數(shù) ),1,0( nja j ??可知 因此可假設(shè) ),( 10 naaa ?? ? ?? ???miinjijj yxa020))(( ?因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為 二次函數(shù) 的問題點(diǎn)極小值的最小值求 *,*,*,)(),( 1010 nn aaaaaa ???由多元函數(shù)取極值的必要條件 0),( 10 ???knaaaa ?? nk ,1,0 ??)]())((2[0 0ikmiinjijj xyxa ??? ?? ???ka??? 0?得 即 ?? ??? ??miikimiiknjijj xyxxa00 0)()()( ???0)]()()([0 0??? ?? ?ikmiinjikijj xyxxa ???),( 10 naaa ?? ? ?? ???miinjijj yxa020))(( ??? ??? ??miikimiiknjijj xyxxa00 0)()()( ????? ??? ??miikinjjikmiij xyaxx00 0)()]()([ ???nk ,1,0 ??(4) ????????????miikiikmiinnikmiiikmiixyxxaxxaxxa00011000)()()()()()()(??????? ?nk ,1,0 ??即 元線性方程組的是一個(gè)關(guān)于顯然 1,)4( 10 ?naaa n?引入記號(hào) ))(,),(),((10 mrrr xxx ??? ??r?),( 10 myyy ??f)()(),(0ijmiikjk xx ???? ???則由內(nèi)積的概念可知 imiikk yxf ???0)(),( ??(5) (6) ),( jk ?? ),( kj ???顯然內(nèi)積滿足交換律 方程組 (4)便可化為 ),(),(),(),( 1100 faaa knknkk ??????? ???? ?nk ,1,0 ??(7) 的線性方程組常數(shù)項(xiàng)為這是一個(gè)系數(shù)為 ),(),( fkjk ???將其表示成矩陣形式 ??????????????naaa?10???????????????),(),(),(10fffn???????????????? ),(),(),( 01000 n?????? ?),(),(),( 11101 n?????? ?),(),(),( 10 nnnn ?????? ????(8) 上的法方程組在點(diǎn)式為函數(shù)序列稱mnxxxxxx,)(,),(),()8(1010?? ???的基為函數(shù)類由于 ?)(,),(),( 10 xxx n??? ?必然線性無關(guān)因此 )(,),(),( 10 xxx n??? ?并且其系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣 所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異 ,即 0])),d e t [ ( ( ?? nnji ??根據(jù) Cramer法則 ,法方程組有唯一解 *,*,*, 1100 nn aaaaaa ??? ?*),*,*,( 10 naaa ??? ?? ???miinjijj yxa020))(( ?),( 10 naaa ??即 是 的最小值 22*????miii yxS02))(*( ??????miiixS yxS02)())((mi n22)(m in ????