【正文】 x x 0 x 1 …… x ny y0 y1 …… yny39。 y 39。 0 y 39。 1 …… y 39。 n f(x) 是區(qū)間 [ a, b] 上 n+1個互異節(jié)點a=x0x1x2……x n=b ， 定義在 [a,b]上的函數 f(x) 在節(jié)點上滿足 f(xi) = yi f’(xi)=y 39。 i i=0,1,2……n 求一個次數不高于 2n+1次的插值多項式 H(x)滿足 2n+2個條件 H(xi) = yi H 39。(xi)= y 39。 i i=0,1,2……n 若 H(x)存在，則稱為函數 f(x) 的 Hermite插值多項式。因為 H(x)是一個次數不高于 2n+1次的多項式，常記為H2n+1(x). 定理一 :滿足插值條件 H(xi)= yi H39。(xi)= y39。i i=0,1,2……n 且次數不大于 2n+1的多項式是唯一的。 證明 :令 p(x)和 q(x)是兩個次數不高于2n+1的多項式且在插值基點都滿足以上插值條件 ,即 : p(xi)=q(xi)=yi , p39。(xi)=q39。(xi)=y39。 i , i=0,1,2…… n 令 F(x)=p(x)q(x),有F(xi)=0 ,F39。(xi)=0, i=0,1,2,.....n 故 F(x)有 2n+2個根。由于 p(x),q(x)都是次數不高于 2n+1的多項式 ,由代數基本定理知 F(x )=p(x)q(x)?0,所以有 p(x) ? q(x) ,多項式唯一。 定理二 :f(x)在區(qū)間 [a,b]存在 2n+2階導數 ,則其 Hermite插值余項為 : 2 1 2 1( 2 2 ) 21( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ]( , )( 2 2) !nnnnR x f x H xfxabn????????????? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1nnx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?證明：對于固定的 x 選 a 使 ? ? ? ?22 1 1nnR x a x???? 不妨設01,nx x x x?。作輔助函數 ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 1nnt f t H t a t????? ? ? 則01,nx x x是? ?t?的二階零點 , x 是? ?t?的一階零點。 仿照 Lagrange 插值余項的證明方法 , 對? ?t?反復應用羅爾定理 ,可得? ?,x ab? ?, 使 ? ?? ?220nx???? 因為 ? ?? ?? ?? ? ? ?2 2 2 20 2 2 !nnt f t n a???? ? ? ? 從而 ? ?? ?? ?? ? ? ?2 2 2 22 2 ! 0nnxxf n a? ? ???? ? ? ? 因此： ? ?? ?? ?222 2 !nxfan???? 所以有： ? ?? ?? ?? ?? ?2222 1 12 2 !nxnnfR x xn??????? ? ?,xab? ? 設 Hermite插值函數 n n H2n+1(x) = ? Li(x) yi + ? hi(x) y39。i i=0 i=0 Li(x)， hi(x)都是不高于 2n+1次的 多項式，類似Lagrange插值，利用 Hermite插值條件可得： Li(xj)=?ij hi(xj) = 0 L39。i(xj)=0 h39。i(xj)= ?ij i,j=0,1,2……n 從而可設 Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2 hi(x)= (cix+di)[li(x)]2 這里 li(x)=(xx0)(xx1)… (xxi1)(xxi+1)… (xxn) ai,bi ,ci,di為待定系數 ,分別由 Li(xi)=1 和 Li′ (xi)=0 及 hi′ (xi)= 1 (i=0,1,2…… ,n)確定 . 三次 Hermite插值函數的構造 (n=1,2n+1=3) 已知數表： x x0 x1 y y0 y1 y′ y0′ y 1′ 求一個三次 Hermite插值函數 H3(x). 解 :H3(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+ y0′ h0(x)+ y1′ h1(x) 對 x=x0,有 L0(x0)=1 L1(x0)=0 h0(x0)=0 h1(x0)=0 L0′ (x0)=0 L1′ (x0)=0 h0′ (x0)=1 h1′ (x0)=0 對 x=x1,有 L0(x1)=0 L1(x1)=1 h0(x1)=0 h1(x1)=0 L0′ (x1)=0 L1′ (x1)=0 h0′ (x1)=0 h1′ (x1)=1 L0(x)= (a0x+b0)(xx1)2 h0(x)= a(xx0)(xx1)2 解之得 L0(x)=[1+2*(xx0)/(x1x0)][(xx1)/(x0x1)]2 h0(x)=(xx0)[(xx1)/(x0x1)]2 同理有 L1(x)=[1+2*(xx1)/(x0x1)][(xx0)/(x1x0)]2 h1(x)=(xx1)[(xx0)/(x1x0)]2 求過 0,1兩點構造一個三次插值多項式 ,滿足條件 f(0)=1, f 39。(0)=1/2 , f(1)=2, f 39。(1) =1/2 解 : 設 H3(x)=Y0l0(x)+y1l 1(x) +y 39。0 h0(x) +y1h 1(x) 因為 l0(x)=(ax+b)(x1)2 利用 l0(0)=1和 l0 39。 (0)=0, 得 b=1,a=2. 所以有 l0(x)=(2x+1)(x1)2 同理可得 l1(x)=(32x)x2 h0(x)=x(x1)2 h1(x)=x2(x1) 所以 H3(x)=(1+2x)(x1)2 +2(32x)x2+(x1)2x +(x1)x2 =x3+++1 實際問題中還會有其他的插值問題 ,這類問題可用Lagrange插值基函數的方法解決 .如已知數據表 ： x 0 1 y y0 y1 y′ y 0′ 求過 0,1兩點構造一個插值多項式 p(x),滿足條件 p(0)= y0 , p′ (0)= y0′ , p(1)= y1 解 : 他有三個條件 ,故 p(x)可設為二次多項式 p(x)= y0 L0(x)+ y1 L1(x) + y0′ h0(x) 這里 L0(x), L1(x), h0(x)都是二次多項式 ,由插值條件得 對 x=x0=0有 L0(0)=1 L1(0)=0 h0(0)=0 L0′ (0)=0 L1′ (0)=0 h0′ (0)=1 對 x=x1=1有 L0(1)=0 L1(1)=1 h0(1)=0 由條件 L0(0)=1 , L0′ (0)=0 , L0(1)=0 ,可設 L0(x)=(ax+b)(x1) 利用 L0(0)=1 , L0′ (0)=0, 得 b=a=1. 所以 : L0(x)=(x1)(x1)=1x2 同理可得 L1(x)=x2 h0(x)=x(1x) 所以 p(x)= y0(1x2 )+ y1 x2+ y0′ (1x)x 其余項表達式為 ? ?? ? ? ?? ?3213!xfR x x x???作業(yè) 6 ：已知? ?fx的函數值和導數值如下 : ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2 , 3 3f f f? ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2ff?? ?? 求次數小于等于 4 的多項式? ?Px，使得： ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2 , 3 3P P P? ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2PP ?? ?? 并給出余項公式。