【正文】 0 1 0 1 0 11 , 1 , 9 , 1 , 15 , 1x x y y m m? ? ? ? ? ? ? ? ?則 2 202 211 1 ( 2 ) ( 1 )( ) 1 2 ,1 1 1 1 41 1 ( 2 ) ( 1 )( ) 1 2 ,1 1 1 1 4x x x xxx x x xx??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?Hermite插值多項(xiàng)式的求法 1：（ 一般情形的 Hermite插值） (1) 直接利用公式； (2) 待定系數(shù)法； (3) 利用插商表。 ()00 0 01()[ , , ,P r o :!p ]nnfxf x x xn??2 202 211 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ,1 1 41 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )1 1 4x x xxxx x xxx??? ? ???? ? ???????? ? ???? ? ??????0 0 1 1 0 0 1 132( ) ( ) ( ) ( ) ( )44H x x y x y x m x mx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?(2) 待定系數(shù)法 令 ，由條件可得： 23()H x a bx c x d x? ? ? ?9,1,2 3 1 5 ,2 3 1 .a b c da b c db c db c d? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ???解得： 0 , 4 , 4 , 1a b c d? ? ? ? ?32( ) 4 4H x x x x? ? ? ?(3) 插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 191 9 151 1 5 51 1 1 3 1???????2232( ) 9 1 5 ( 1 ) 5 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )44H x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?三、 特殊情形的 Hermite 插值 在帶導(dǎo)數(shù)的插值問(wèn)題中 , 有時(shí)插值條件中的函數(shù)值個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等 , 為特殊情形的 Hermite插值 . 如 : 給定函數(shù)表如下 x x0 x1 x2 f (x) y0 y1 y2 f 39。(x) m0 m1 求次數(shù)不高于 4 的多項(xiàng)式 H4(x) , 使之滿(mǎn)足 : 44( ) ( 0 , 1 , 2 )( ) ( 0 , 1 )iiiiH x y iH x m i???? ? ???Hermite插值多項(xiàng)式的求法 2: (特殊情形的 Hermite插值 ,即 插值條件中函數(shù)值個(gè)數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等 ) (1) 待定系數(shù)法 (Newton插值多項(xiàng)式或一般情形的 Hermite 插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) )； (2) 利用插商表 。 10 以 Newton插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) 設(shè) 4 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )H x y f x x x x f x x x x x x xA x B x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?其中 A, B為待定系數(shù) . 顯然 4 ( ) ( 0 , 1 , 2 )iiH x y i??由條件 求得常數(shù) A, B后 , 便可得 H4(x). 4 ( ) ( 0 , 1 )iiH x m i? ??20 以一般情形的 Hermite插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) 設(shè) 224 3 0 1( ) ( ) ( ) ( )H x H x C x x x x? ? ? ?設(shè) 由條件 H4( x2 ) = y2 求得 C 后 , 便可得 H4(x). 其中 C 為待定系數(shù) , H3(x)為滿(mǎn)足 33( ) , ( ) ( 0 , 1 )i i i iH x y H x m i?? ? ?的次數(shù)不高于 3 的 Hermite 插值多項(xiàng)式 . 顯然 44( ) , ( ) ( 0 , 1 )i i i iH x y H x m i?? ? ?30 類(lèi)似于一般情形 , 利用差商表可得相應(yīng)插值多項(xiàng)式 例 2: 求不超過(guò) 4次的多項(xiàng)式 P (x)，使之滿(mǎn)足插值條件： (0 ) (0 ) 0 , ( 1 ) ( 1 ) 1 , ( 2 ) 1P P P P P??? ? ? ? ?解： (1) 待定系數(shù)法 可得： 4 3 21 3 9()4 2 4P x x x x? ? ?(2) 插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 四階 0 0 10 0 01 1 1 11 1 1 0 12 1 0 1 1 / 2 1 / 4???2 2 2 24 3 21( ) 0 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )41 3 94 2 4P x x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?例 3: 已知 ，求 H3 (x). (0 ) 1 , (0 ) 2 , ( 1 ) 3 , ( 2 ) 4f f f P?? ? ? ?32311( ) 2 144H x x x x? ? ? ? ? ?解： (1) 待定系數(shù)法 設(shè) ，代入條件，可得： 233 ()H x a b x c x d x? ? ? ?11322 4 8 4 1 / 42 1 / 4aaa b c d ba b c d cbd??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ?????(2) 構(gòu)造插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 010 1 21 3 2 02 4 1 1 / 2 1 / 4??223321( ) 1 2 ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )4112144H x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?四 分段 Hermite 插值 De f ： 設(shè)函數(shù) ，對(duì)于劃分 1( ) [ , ]f x C a b?01: na x x x b? ? ? ? ? ?記 ，且 101m a x { }iiinh x x?? ? ???( ) , ( ) , 0 , 1 , 2 , ,i i i iy f x m f x i n?? ? ?則稱(chēng)分段三次函數(shù) 3 1 1 1 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ , ] , 0 ,1 , 2 , , 1i i i i i i i iiiH x x y x y x m x mx x x i n? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?為 f (x)在區(qū)間 [a , b]上關(guān)于劃分 的分段 Hermite三次插值多項(xiàng)式。其中插值基函數(shù)如下確定： ?22111 1 12211 1 11 1 1( ) 1 2 , ( ) ( )( ) 1 2 , ( ) ( )i i ii i ii i i i i ii i ii i ii i i i i ix x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x xx x x xx x x x x x??????? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??由定理 1可知， H3 ( x )滿(mǎn)足 邊界條件 ： 3 0 0 3 0 033( ) , ( )( ) , ( )n n n nH x y H x mH x y H x m? ????? ?????以及內(nèi)節(jié)點(diǎn)的銜接條件 : 3333( 0) ( 0) ,1 , 2 , , 1( 0) ( 0)i i ii i iH x H x yinH x H x m? ? ? ?????? ??? ? ? ???若 , 則有 ( 4 )4| ( ) | , [ , ]f x M x a b??443| ( ) | 384MR x h? 故 3 ( ) ( ) ( 0 )H x f x h??注 : 分段線性插值不能保證在插值節(jié)點(diǎn)處的光滑性 。 分段二次插值不能保證在 處的光滑性 。 分段三次插值能夠保證插值節(jié)點(diǎn)處的光滑性 , 但在節(jié)點(diǎn)處的凹凸性 不能保證與 f (x) 相同 . ( 0 , 1 , , )ix i n?