【正文】 二階 三階 ? 三、 牛頓 (Newton)插值公式 當(dāng) n=1時(shí)：過(guò)兩點(diǎn) 和 的直線為 00( , ( ))x f x11( , ( ))x f x011 0 0 0 0 1 001( ) ( )( ) ( ) ( ) [ , ] ( )f x f xN x y x x f x f x x x xxx?? ? ? ? ? ??稱為 1次 Newton插值多項(xiàng)式。 當(dāng) n=2時(shí)：構(gòu)造不超過(guò) 2 次的多項(xiàng)式 : 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )N x f x f x x x x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?易知 N2(x)滿足插值條件： 稱之為 2次 Newton插值多項(xiàng)式。 2 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2iiN x f x i??推廣到一般情形 : 令 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 1 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , , ] ( ) ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?可證 Nn (x) 滿足插值條件： 稱之為 n 次 Newton插值多項(xiàng)式 . 或稱為 Newton插值公式 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , ,n i iN x f x i n?? 注： 由 Newton插值公式可以看出 , 每當(dāng)增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí) , Newton插值多項(xiàng)式只在原有插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng) , 克服了 Lagrange插值不具備繼承性的缺點(diǎn) . ],[)()()( 000 xxfxxxfxf ???],[)(],[],[ 101100 xxxfxxxxfxxf ???],. . .,[)(],. . .,[],. . .,[ 0010 nnnn xxxfxxxxfxxxf ????1 2 … … … … n?1 1 + (x ? x0) ? 2 + … … + ( x ? x0)…( x ? xn?1) ? n?1 ...))(](,[)](,[)()( 102100100 ??????? xxxxxxxfxxxxfxfxf)) . . . (](,. . .,[ 100 ???? nn xxxxxxf))() . . . (](,...,[ 100 nnn xxxxxxxxxf ???? ?Nn(x) Rn(x) 差商推導(dǎo) Newton插值 ： (利用差商的定義 ) Newton插值的余項(xiàng)： 由插值的唯一性或上述推導(dǎo)知 ( 1 )0 0 1()( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n n nfR x f x x x x x x x xn? ???? ? ? ? ?例 3: 給定 f (x)=ln x的數(shù)據(jù)表 xi f (xi) 1. 構(gòu)造差商表 2. 分別寫(xiě)出二次 、 四次 Newton插值多項(xiàng)式 解 : 差商表 2 .2 02 .4 0 0 .8 7 5 4 72 .6 0 0 .9 5 5 5 1 0 .4 0 0 1 02 .8 0 1 .0 2 9 60 .7 8 8 4 60 .4 3 5 0 50 .0 8 7 3 7 50 .0 2 22 0 .3 7 0 5 5 0 .0 7 3 8 7 53 .0 0 1 .0 9 8 6 1 0 .3 4 4 9 5 0 .0 6 4 0 0 0 .0 1 6 4 6500 .0 0 7 5 5???? xi f (xi ) 一階 二階 三階 四階 N2(x) = + ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) N4(x) = + ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) + ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) 例 4 : 由函數(shù)表求 Newton插值函數(shù) x ?2 ?1 0 1 3 y ?56 ?16 ?2 ? 2 4 0 0 1 0 1 20 1 2 3 0 1 2 3 4( ) 5 6 , [ , ] 4 0 , [ , , ] 1 3[ , , , ] 2 , [ , , , , ] 0f x f x x f x x xf x x x x f x x x x x? ? ? ? ???解 : 3 ( ) 5 6 4 0 ( 2 ) 1 3 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 2 )N x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函數(shù)值的計(jì)算 : 秦九韶算法 3 ( ) 5 6 ( 2 ) { 4 0 ( 1 ) [ 1 3 2 ] }N x x x x? ? ? ? ? ? ?例 5 : 推導(dǎo)計(jì)算公式 ???nkknP13)( 1 1 2 9 8 3 36 27 19/2 4 100 64 37/2 3 5 225 125 61/2 4 1/4 6 441 216 91/2 5 1/4 0 7 784 343 127/2 6 1/4 0 )4)(3)(2)(1(41)3)(2)(1(3)2)(1(219)1(81)(???????????????nnnnnnnnnnnP解 : 167。 等距節(jié)點(diǎn)插值公式 一、 差分的概念及性質(zhì) De f 1: 設(shè) 為等距節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 , 其中 稱為步長(zhǎng) , 則 ()iiy f x? 0 ( 0 , 1 , , )ix x ih i n? ? ?( ) /h b a n??和 11i i ii i iy y yy y y??? ? ?? ? ?分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長(zhǎng)的一階向前差分和一階向后差分 . 21 2 121 1 222i i i i i ii i i i i iy y y y y yy y y y y y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?和 分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長(zhǎng)的二階向前差分和二階向后差分 . 一般地 111111m m mi i im m mi i iy y yy y y??????? ? ? ? ?? ? ? ? ?和 分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長(zhǎng)的 m 階向前差分和 m 階向后差分 . 稱為差分算子 . ,??差分的性質(zhì) Prop1: 各階差分可用函數(shù)值線性表示 , 其計(jì)算公式為 12 12 ( 1 ) ( 1 )m s s mi m i m m i m m i m m i s iy y C y C y C y y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中 為組合數(shù) , 即 smC ( 1 ) ( 1 )!smm m m sCs? ? ??Prop2: 差分與差商的關(guān)系 001[ , , , ] !!nnnn nnyyf x x xn h n h????Prop3: 差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ()0 ()n n ny h f ??? ? 在 x0 與 xn 之間 () ()n n nny h f ??? ? 在 x0 與 xn 之間 23001 1 022 2 1 0233 3 2 1 0231 2 3 0ni i i i i inn n n n nx y y y y yxyx y yx y y yx y y y yx y y y y y? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ? ?向前差分表 二、等距節(jié)點(diǎn)插值 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn) x0 ,…, xn 為等距分布時(shí) , Newton插值公式可以簡(jiǎn)化 . 給定等距節(jié)點(diǎn) 后 , 將差分與差商的關(guān)系式代入 Newton插值多項(xiàng)式 , 可得 0 ( 0 , 1 , , )ix x ih i n? ? ?2000 0 0 1200 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!( ) ( ) ( )!nnnnyyN x f x x x x x x xhhyx x x x x xnh???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?令 , 則有 0 ,0x