【正文】 167。 牛頓插值 (Newton’s Interpolation) Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時， 全部基函數(shù) l i ( x ) 都需要重新計算。也就是說， Lagrange 插值不具有繼承性。 能否重新在 Pn中尋找新的 基函數(shù) ？ 希望每加一個節(jié)點時， 只在原有插值的基礎(chǔ)上附加部分計算量（或者說添加一項） 即可。 本講主要內(nèi)容 : ● Newton插值多項式的構(gòu)造 ● 差商的定義及性質(zhì) ● 差分的定義及性質(zhì) ● 等距節(jié)點 Newton插值公式 問題 1 求作 n 次多項式 ()nNx0 1 0 2 0 10 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnN x c c x x c x x x xc x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( ) ( ) , 0 , 1 ,n i iN x f x i n?? (2) 為了使 的形式得到簡化 ,引入如下記號 ()nNx0110 1 1( ) 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , 1 , 2 ,i i iixx x x xx x x x x x i n??? ??????? ? ? ? ? (3) (1) 一、 基函數(shù) 使?jié)M足 De f 1: 由式 (3)定義的 n+1個多項式 稱為 Newton插值 的以 x0 , x1,…, xn 為節(jié)點的 基函數(shù) , 即 01( ) , ( ) , , ( )nx x x? ? ?0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nN x c x c x c x? ? ?? ? ? ?可以證明 ,這樣選取的基函數(shù)是 線性無關(guān) 的 , 由此得出的問題1的解 便于求值 , 而且 新增加一個節(jié)點 xn+1時 只需加一個新項 即 11()nncx???1 0 0 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nN x c x c x c x c x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?而 1 ( ) ( ) ( )n n nx x x x??? ??依據(jù)條件 (2),可以依次確定 系數(shù) c0 , c1,…, . 如 : 取 x = x0 得 0 0 0( ) ( )nc N x f x??取 x = x2 得 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )nN x c c x x c x x x x f x? ? ? ? ? ? ??102 0 2 02 0 1 2 0 1 022 0 2 1 2 0 2 1( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nf x f xf x f x x xN x c c x x x xcx x x x x x x x?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?1 0 1 02 1 1 0 2 01 0 1 02 0 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f x f x f x f xf x f x x x x xx x x xx x x x??? ? ? ? ????1021202 1 1 0( ) ( )( ) ( ) ()f x f xf x f x xxx x x x?? ??? ? ???????為了得到計算系數(shù) ci 的一般方法 ,下面引進 差商的概念 . ? 二、 差商 (亦稱均差 ) /* divided difference */ 010101( ) ( )[ , ] f x f xf x xxx???稱為 f (x)在 x0 , x1處的 1階差商 0 1 1 20 1 202[ , ] [ , ][ , , ] f x x f x xf x x xxx???稱為 f (x)在 x0 , x1 , x2 處的 2階差商 一般地， n 階差商： 0 1 1 1 2010[ , , , ] [ , , , ][ , , , ] nnnnf x x x f x x xf x x xxx? ???De f 2: 121212( ) ( )[ , ] f x f xf x xxx???稱為 f (x)在 x1 , x2 處的 1階差商 給定 [a , b]中互不相同的點 x0, x1, x2 ,…, 以及 f (x)在這些點處相應(yīng)的函數(shù)值 f (x0) , f (x1) , f (x2) ,…, 則 差商的性質(zhì) : ? ?010 1(), , . . . ,()nini nifxf x x xx?? ?? ??性質(zhì) 1 (差商與函數(shù)值的關(guān)系 ) 證 : 歸納法 . 當(dāng) k=1時 , 有 0 1 0 1010 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ()[ , ] f x f x f x fxf x xx x x x x x?? ? ?? ? ?結(jié)論成立 . 設(shè) k = m 1 時 , 結(jié)論成立 . 則有 10 1 10 0 1 1 1()[ , , , ]( ) ( ) ( ) ( )mjmj j j j j j j mfxf x x xx x x x x x x x??? ? ? ?? ? ? ? ??121 1 1 1()[ , , , ]( ) ( ) ( ) ( )mjmj j j j j j j mfxf x x xx x x x x x x x? ??? ? ? ? ??由差商的定義 , 當(dāng) k = m 時 , 有 0 1 1 1 202011 1 1 1 1 0000 1 0 1 1[ , , , ] [ , , , ][ , , , ]() 11( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( )1( ) ( ) ( )mmmmmjj j j j j j j m j j mmjmjm m m m m jf x x x f x x xf x x xxxfxx x x x x x x x x x x xfxf x f xx x x x x? ? ???? ? ? ??? ? ??????? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ????所以 k = m 時結(jié)論成立 , 由歸納假設(shè)知性質(zhì)成立 . 00, , , , , , , , , , , ,i j n j i nf x x x x f x x x x? ? ? ??? ? ? ?性質(zhì) 2 (對稱性 ): 差商的值與結(jié)點排列順序無關(guān) . 在 n階差商中任意調(diào)整節(jié)點的順序 , 差商的值不變 . [ , ] [ , ]i j j if x x f x x?? ? ()01 (), , ..., !nn ff x x x n ??01( ) [ , ] , , , , [ , ] ,[ , ]nf x a b n x x x a bab???設(shè) 在 上 有 階 導(dǎo) 數(shù) 且則 存 在 使 得性質(zhì) 3 (差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ) 提示 : 0 0 1 00 1 0 1 101( ) ( ) { ( ) [ , ] ( )[ , , , ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0nnng x f x f x f x x x xf x x x x x x x x xg x g x g x?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?反復(fù)應(yīng)用 Rolle定理 . 性質(zhì) 4: (重節(jié)點差商 ) 若 f (x)在 xi 處具有 k 階導(dǎo)數(shù) , 則有 ()11[ , , , ] ( )!ki i i ikf x x x f xk??性質(zhì) 5: (線性性 ) 若 為常數(shù) , 則有 ( ) ( ) ( ) , ,F x f x g x? ? ? ???0 1 0 1 0 1[ , , , ] [ , , , ] [ , , , ]n n nF x x x f x x x g x x x????規(guī)定： 一個點 x0 的零階差商為 f (x0) . 例： 設(shè) 74( ) 3 25f x x x x? ? ? ?求 和 0 1 7[ 2 , 2 , , 2 ]f 0 1 8[ 2 , 2 , , 2 ]f差商表 xk f (xk) 一階差商 二階差商 三階差商 …… n 階差商 123onxxxxx1230[][]][[][]nfxfxfxffxx1220311[ , ][ , ][][ , ],nnf x xf x xxf x xfx?23102211[ , , ][ , ,[ , , ]]n n nf x x xfxfxxxxx?? 3 2 10 1 2 3[ , , , ][ , , , ]n n n nfxf x xxxxxx? ? ?01[ , , , ]nf x x x例 1： 已知信息 構(gòu)造 f (x) 的插商表。 解： f (x) 的插商表如下： (0 ) 1 , ( 1 ) 5 , ( 2 ) 1f f f? ? ? ? ?011 5 42 1 2 1????xi f (xi) 一階 二階 例 2: f (x) 的插商表 1 0 2 xi f (xi) 一階