【正文】 1 12 2 21212() 1211 1 1111( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , [ , ] ( 1 , 2 , , )( ) ( )iii iii ii i i i ii i ii ii i ii i i ix x x x x x x xP x f x f xx x x x x x x xx x x xf x x x x i nx x x x? ?? ?? ? ?? ? ?? ??? ??? ????? ? ? ???? ? ???截?cái)嗾`差 12( ) ( )2 2 1()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3!iiii ifR x f x P x x x x x x x?? ????? ? ? ? ? ?若節(jié)點(diǎn)等距 , 記 , 則 1iih x x ???12 11,2i i ii hx x x x h??? ? ? ? ?設(shè) 12 1[ 1 , 1 ] , [ , ]2 iii hx x s s x x x??? ? ? ? ? ?則 1212( ) ( )221( ) ( )2( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )22iiiii ihP x P x ss s s sf x s s f x f x?? ?? ? ???? ? ? ? ?此時(shí) 3()21()( ) ( 1 ) ( 1 ) , [ 1 , 1 ] , [ , ]3! 8iiifhR x s s s s x x? ?????? ? ? ? ? ? ?若 3[ , ]m a x | ( ) |x a b f x M? ??? ?則 3( ) 33233| ( ) | | ( 1 ) ( 1 ) | , ( 1 , 2 , , )4 8 2 1 6i MhR x s s s M h i n? ? ? ? ?()2 ( ) ( ) ( 0 )iP x f x h? ? ?例 : 已知 y = f (x) 的觀測數(shù)據(jù)如下 求分段線性插值和分段二次插值 P1(x) 和 P2(x) . x 0 1 2 3 4 5 6 f (x) 1 5 3 1 2 4 8 167。 6. 5 分段低次插值 一、龍格現(xiàn)象與分段線性插值 利用插值多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)時(shí) 時(shí) , 并非插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好 . 因?yàn)楫?dāng)插值多項(xiàng)式的次數(shù)較高時(shí) , 給自變量一個(gè)小的擾動(dòng) , 就可能引起函數(shù)值較大的變化 , 從而使得截?cái)嗾`差很大 . 這種現(xiàn)象稱為 龍格現(xiàn)象 . ()y f x?例如： 對(duì)于連續(xù)函數(shù) ，在區(qū)間 上取等距插 值節(jié)點(diǎn) 21()1fx x? ?[ 5,5]?101 , 0 , 1 , 2 , ,ix i i nn? ? ? ? ?當(dāng) n =10時(shí) , 10次插值多項(xiàng)式 L10(x)以及函數(shù) f (x)的圖形見 P185 由此可見 , L10(x)的截?cái)嗾`差 R10(x)= f (x)L10(x)在區(qū)間 的 兩端非常大 . 這種現(xiàn)象稱為 Runge現(xiàn)象 . 不管 n 取多大 , Runge 現(xiàn)象依然存在 . 避免 Runge現(xiàn)象的方法之一就是采用分段低次 插值 . 最簡單的就是分段線性插值 . [ 5,5]?分段線性插值 Def： 設(shè)函數(shù) 個(gè)有序插值節(jié)點(diǎn) 滿足 稱之為區(qū)間 [a , b]的一個(gè) 劃分 。 解： f (x) 的插商表如下： (0 ) 1 , ( 1 ) 5 , ( 2 ) 1f f f? ? ? ? ?011 5 42 1 2 1????xi f (xi) 一階 二階 例 2: f (x) 的插商表 1 0 2 xi f (xi) 一階 二階 三階 ? 三、 牛頓 (Newton)插值公式 當(dāng) n=1時(shí)：過兩點(diǎn) 和 的直線為 00( , ( ))x f x11( , ( ))x f x011 0 0 0 0 1 001( ) ( )( ) ( ) ( ) [ , ] ( )f x f xN x y x x f x f x x x xxx?? ? ? ? ? ??稱為 1次 Newton插值多項(xiàng)式。 牛頓插值 (Newton’s Interpolation) Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)， 全部基函數(shù) l i ( x ) 都需要重新計(jì)算。也就是說， Lagrange 插值不具有繼承性。 當(dāng) n=2時(shí)：構(gòu)造不超過 2 次的多項(xiàng)式 : 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )N x f x f x x x x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?易知 N2(x)滿足插值條件： 稱之為 2次 Newton插值多項(xiàng)式。其中 和 稱為 邊界點(diǎn) ， 稱為 內(nèi)節(jié)點(diǎn) 。 6. 6 Hermite 插值 分段線性插值簡單易操作 , 但插值曲線不光滑 , 即在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處一節(jié)導(dǎo)數(shù)不連續(xù) , 這種情況往往不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需要 . 為了克服這一缺陷 , 通常添加一階導(dǎo)數(shù)作為插值條件 . 一、 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的情形： 設(shè) x0 , x1為插值節(jié)點(diǎn)， x0 x1，且已知 在區(qū)間 [x0 , x1]上求多項(xiàng)式 H (x)，使得滿足插值條件 ( ) , ( ) 0 , 1k k k ky f x m f x k?? ? ?( ) , ( ) 0 , 1k k k kH x y H x m k?? ? ?由于有 4個(gè)條件，所以 H (x)應(yīng)為次數(shù)不超過 3次的多項(xiàng)式，稱為 Hermite三次插值。 ()00 0 01()[ , , ,P r o :!p ]nnfxf x x xn??2 202 211 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ,1 1 41 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )1 1 4x x xxxx x xxx??? ? ???? ? ???????? ? ???? ? ??????0 0 1 1 0 0 1 132( ) ( ) ( ) ( ) ( )44H x x y x y x m x mx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?(2) 待定系數(shù)法 令 ，由條件可得： 23()H x a bx c x d x? ? ? ?9,1,2 3 1 5 ,2 3 1 .a b c da b c db c db c d? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ???解得： 0 , 4 , 4 , 1a b c d? ? ? ? ?32( ) 4 4H x x x x? ? ? ?(3) 插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 191 9 151 1 5 51 1 1 3 1???????2232( ) 9 1 5 ( 1 ) 5 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )44H x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?三、 特殊情形的 Hermite 插值 在帶導(dǎo)數(shù)的插值問題中 , 有時(shí)插值條件中的函數(shù)值個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等 , 為特殊情形的 Hermite插值 . 如 : 給定函數(shù)表如下 x x0 x1 x2 f (x) y0 y1 y2 f 39。 分段二次插值不能保證在 處的光滑性 。 10 以 Newton插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) 設(shè) 4 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )H x y f x x x x f x x x x x x xA x B x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?其中 A, B為待定系數(shù) . 顯然 4 ( ) ( 0 , 1 , 2 )iiH x y i??由條件 求得常數(shù) A, B后 , 便可得 H4(x). 4 ( ) ( 0 , 1 )iiH x m i? ??20 以一般情形的 Hermite插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) 設(shè) 224 3 0 1( ) ( ) ( ) ( )H x H x C x x x x? ? ? ?設(shè) 由條件 H4( x2 ) = y2 求得 C 后 , 便可得 H4(x). 其中 C 為待定系數(shù) , H3(x)為滿足 33( ) , ( ) ( 0 , 1 )i i i iH x y H x m i?? ? ?的次數(shù)不高于 3 的 Hermite 插值多項(xiàng)式 . 顯然 44( ) , ( ) ( 0 , 1 )i i i iH x y H x m i?? ? ?30 類似于一般情形 , 利用差商表可得相應(yīng)插值多項(xiàng)式 例 2: 求不超過 4次的多項(xiàng)式 P (x)，使