【正文】 x L x xn? ???? ? ? ?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nR x f x L x K x x? ?? ? ?其中 K(x)是 待定函數(shù) 。 以 xi (i=0,1,…, n)為插值節(jié)點(diǎn) , 函數(shù) f(x) ?1作插值多項(xiàng)式 , 由插值多項(xiàng)式的唯一性即得 基函數(shù)的一個(gè)性質(zhì) (2) 插值基函數(shù) l i(x) 僅由插值節(jié)點(diǎn) xi (i=0,1, … , n)確定 , 與被插函數(shù) f(x)無關(guān) 。 本章主要研究如何求出 插值多項(xiàng)式 ， 分段插值函數(shù) ， 樣條插值函數(shù) ；討論插值多項(xiàng)式 P(x)的 存在唯一性 、 收斂些 及 誤差估計(jì) 等。上頁 下頁 在工程技術(shù)與科學(xué)研究中，常會(huì)遇到函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜而不便于計(jì)算，且又需要計(jì)算眾多點(diǎn)處的函數(shù)值；或已知由實(shí)驗(yàn)（測(cè)量）得到的某一函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 [a,b]中互異的 n+1個(gè) xi ( i=0, 1, ... ,n)處的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要構(gòu)造一個(gè) 簡(jiǎn)單易算的函數(shù) P(x)作為 y=f(x)的近似表達(dá)式 y=f(x)≈P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n) 這類問題就稱為 插值問題 ， P(x)稱為 插值函數(shù) ， P(x)一般取最簡(jiǎn)單又便于計(jì)算得函數(shù)。 上頁 下頁 定理 1 設(shè)節(jié)點(diǎn) xi (i=0,1, … , n)互異 , 則滿足插值條件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次數(shù)不超過 n的多項(xiàng) 式存在且唯一 . 證 設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (52) 則由插值條件式 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得 關(guān)于系數(shù)a0 ,a1 , …,a n的線性代數(shù)方程組 插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性 上頁 下頁 ???????????????????nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa????101111000010此方程組有 n+1個(gè)方程 , n+1個(gè)未知數(shù) , 其系數(shù)行列式是范德蒙 (Vandermonde)行列式： （ 53） 20 0 021 1 1211( ) 01nnjijinn n nx x xx x xxxx x x?? ? ??由克萊姆法則知方程組 (53) 的解存在唯一 . 證畢。 (3) 插值基函數(shù) l i(x) 的順序與插值節(jié)點(diǎn) xi (i=0,1, … , n) 的順序一致 . 上頁 下頁 1)(0???nii xl這是因?yàn)槿羧??(x)=xk (k=0,1,…, n),由插值多項(xiàng)式的唯一性有 0( ) , 0 , 1 , ,nkkiiil x x x k n????特別當(dāng) k=0時(shí) ,就得到 上頁 下頁 所以 019 1 4 1( ) ( 9 ), ( ) ( 4 )4 9 5 9 4 5xxl x x l x x??? ? ? ? ? ? ?1 0 0 1 111( ) ( ) ( ) 2 ( 9 ) 3 ( 4 )55L x y l x y l x x x?? ? ? ? ? ? ? ?1137 ( 7 ) 2. 65L? ? ?01, 4 , 9 ,y x x x? ? ?7例 1 已知 用線性插值 (即一次插值多項(xiàng)式 )求 的近似值。 對(duì)于 任意固定的 x?[a,b], x?xk ,構(gòu)造自變量 t 的輔助函數(shù) 上頁 下頁 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ? 由式 ?n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,…,n ),以及 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nR x f x L x K x x? ?? ? ?可知： x0 , x1, ? , xn 和 x 是 ?(t) 在區(qū)間 [a,b]上的 n+2個(gè)互異零點(diǎn) , 因此根據(jù)羅爾 (Rolle) 定理 , 至少存在一點(diǎn) ? =?(x) ?(a,b),使 ( 1 ) ( ) 0n??? ?( 1 ) ()() ( 1 ) !nfKx n ??? ?即 ( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ?所以 上頁 下頁 一般來說 ,外推比內(nèi)插效果差 ,在估計(jì)誤差時(shí)下列不等式很有用。 差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成 均差表 ，如下 一般 f(xi) 稱為 f(x) 在 xi點(diǎn)的 零階均差 ，記作 f[xi]。8 !, f [1,2, …,9]= 6, f (9)(x)=0, f [1,2, …,10]=0. 上頁 下頁 牛頓插值多項(xiàng)式 設(shè) x是 [a， b]上一點(diǎn)，由一階均差定義得 )](,[)()( 000 xxxxfxfxf ???同理，由二階均差定義 )](,[],[],[ 110100 xxxxxfxxfxxf ???如此繼續(xù)下去，可得一系列等式 000)()(],[xxxfxfxxf???110010],[],[],[xxxxfxxfxxxf???得 得 上頁 下頁 0 1 0 1 0[ , , , ] [ , , , ] [ , , , ]( )n n n nf x x x f x x x f x x x x x? ? ? ?)](,[)()( 000 xxxxfxfxf ???)](,[],[],[ 110100 xxxxxfxxfxxf ???)](,[],[],[ 221021010 xxxxxxfxxxfxxxf ????依次把后式代入前式，最后得 0 0 00 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2 0 1 2( ) ( ) [ , ]( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )[ , , , ]( )( )( )f x f x f x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?上頁 下頁 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2 0 1 2( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )[ , , , ]( )( )( )( ) ( )nnf x f x f x x x x f x x x x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x xN x R x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 10 0 11( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , , ] ( ) ( )( ) [ , , , ] ( )nnnnkkkN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x xf x f x x x x???? ? ? ? ? ?? ? ??? ?其中 0 0 101( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )[ , , , ] ( )n n nnnR x f x x x x x x x x xf x x x x? ?? ? ? ??上頁 下頁 ( ) ( ) ( )nnf x N x R x??可見 , Nn(x)為次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式 ,且易知 Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …, n) 滿足插值條件 , 故其為插值問題的解 , Nn(x)稱為 牛頓插值多項(xiàng)式 。 ))((2 8 0 )(1 1 6 1 0 7 )(2??????xxxxN解 由上表可得過前三點(diǎn)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 上頁 下頁 6 3 2 0 1 )5 9 ()5 9 ( 2 ?? Nf又 1 9 7 ],[ 3210 ?xxxxf可得過前四點(diǎn)的三次牛頓插值多項(xiàng)式 ))()((1 9 7 )()( 23 ????? xxxxNxN故 6 3 1 9 1 4 )5 9 ()5 9 ( 3 ?? Nf故))((2 8 0 )(1 1 6 1 0 7 )(2??????xxxxN))()()((0 3 4 )(3 ????? xxxxxR可得 N3(x)的截?cái)嗾`差 63 )( ???R],[ 40 ?xxf ?上頁 下頁 設(shè)函數(shù) y=f(x)在 等距節(jié)點(diǎn) xi=x0+ih (i=0,1, …, n)上的函數(shù)值為 fi=f(xi)(h為 步長(zhǎng) ) 定義 2 ? fi=fi+1fi 和 ?fi=fifi1 分別稱為函數(shù) f(x)在點(diǎn) xi處的 一階向前差分 和 一階向后差分 。(x) 1/22 1/24 解 231 2 1 1 4 4( ) 1 1 1 21 4 4 1 2 1 1 2 1 1 4 4xxHx ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?21 4 4 1 2 11 2 1 2 1 2 1 1 4 4 1 4 4 1 2 1xx??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?21 1 2 1 1 4 42 2 1 4 4 1 2 1 1 2 1 1 4 4xx??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?21 1 4 4 1 2 12 4 1 2 1 1 4 4 1 4 4 1 2 1xx??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?上頁 下頁 得 31 2 5 ( 1 2 5 ) 1 1 . 1 8 0 3 5H??由 2/7)4( 16 15)( xxf ??可求得 223 32315 1( 12 5 ) 4 1938 4 1615 190. 00 00 1238 4 12 1 11R?????? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?223 3322221 1 1 2( ) 2 2 1 9 1 4 4 2 6 5 2 1 2 12 3 2 3111 2 1 1 4 4 1 4 4 1 2 12 2 2 3 2 4 2 3H x x x x xx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???上頁 下頁 分段低次插值 先看下面的例子 對(duì) ?(x)=(1+25x2)1,在區(qū)間 [1,1]上取等距節(jié)點(diǎn) xi=1+ih, i=0,1,…,10, h=,作 ?(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn) xi(i=0,1,…,10) 的 10次插值多項(xiàng)式 L10(x), 如圖所示 上頁 下頁 x y o 1 1 1 2251 1??yy=L10(x) 這個(gè)現(xiàn)象被稱為 Runge現(xiàn)象 . 表明高次插值的不穩(wěn)定性 . 實(shí)際上 , 很少采用高于 7次的插值多項(xiàng)式 . 上頁 下頁 分段線性插值 01( )( 0 , 1 , . . . , ),i i ny f x i n a x x x b? ? ? ? ? ? ?已 知求一個(gè)分段函數(shù) P(x), 使其滿足 : (1) P(xi)=yi (i=0,1, ..., n)。 22 1 0h ???得上頁 下頁 ( 4