【正文】 )(1(43)4)(3)(1(201????????????xxxxxxxxx34 23 ??? xx( )則拉格朗日的三次插值多項(xiàng)式為 上頁(yè) 下頁(yè) 截?cái)嗾`差 Rn(x)=f (x) Ln(x)也稱為 n次 Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng) 。 定理 2 設(shè) f (x) 在區(qū)間 [a ,b]上存在 n+1 階導(dǎo)數(shù) , xi∈ [a, b] (i=0,1, …, n) 為 n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn) , 則對(duì)任何x∈ [a ,b], 有 ( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ? 插值余項(xiàng) ( ( , )ab? ? 且與 x有關(guān) ) 10( ) ( )nniix x x? ?????其 中上頁(yè) 下頁(yè) 證 由插值條件和 ?n+1(x) 的定義 , 當(dāng) x=xk 時(shí) , 式子顯然成立 , 并且有 ?n+1(xk)=0 ( k=0,1,…,n ), 這表明 x0 , x1, … , xn 都是函數(shù) ?n+1(x) 的零點(diǎn) , 從而 ?n+1(x) 可表示為 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nR x f x L x K x x? ?? ? ?其中 K(x)是 待定函數(shù) 。 ),(,)()!1()(01 baxxxnMxR niinn ???? ???或),(,)(m ax)!1()(01 baxxxnMxR niibxann ???? ?????。 例 3 設(shè) 解 插值多項(xiàng)式為 上頁(yè) 下頁(yè) ,6)( 4xxf ????? 83|)2(||)(|m ax]4,2[3??????????fxfMx213| ( 3 ) | | ( 3 ) ( 3 ) | | ( 3 2 )( 3 2 .5 )( 3 4 ) |680 .0 3 1 2 5R f L? ? ? ? ? ? ??因?yàn)? 故 |)4)()(2(|8361|)4)()(2(|!3|)(| 33?????????xxxxxxMxR3 2 )3()3( 2 ?? Lf于是 另 見(jiàn)書(shū) p29的例 1. 上頁(yè) 下頁(yè) 用二次插值計(jì)算 ,并估計(jì)誤差 . 例 4 給定函數(shù)表 x 10 11 12 13 lnx 解 取節(jié)點(diǎn) x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有 30 258 )1210)(1110( ))(( ??? ???39 789 )1211)(1011( ))(( ??? ??? 48 490 )1112)(1012( ))(( ??? ???4 2 0 4 2 ??L2() 上頁(yè) 下頁(yè) 在區(qū)間 [10,12]上 lnx 的三階導(dǎo)數(shù)的上限 M3=, 可得誤差估計(jì)式 0 0 0 0 |))()((|!3)( 32 ????? MR實(shí)際上 ,=, |R2()|=. 上頁(yè) 下頁(yè) 均差及其基本性質(zhì) 定義 1 稱 101010)()(],[xxxfxfxxf???為 f (x)在 x0、 x1點(diǎn)的 一階均差 .一階均差的均差 (差商 ) 202110210],[],[],[xxxxfxxfxxxf???稱為函數(shù) f (x)在 x0、 x1 、 x2 點(diǎn)的 二階均差 . 英 16421727 均差與牛頓插值公式 上頁(yè) 下頁(yè) 一般地， n1階均差的均差 nnnnnn xxxxxfxxxfxxxf??? ???01112010],[],[],[ ??? 稱為 f (x)在 x0 , x1 , …, xn點(diǎn)的 n 階均差 。 上頁(yè) 下頁(yè) xk 函數(shù)值 一階均差 二階均差 三階均差 ... x0 x1 x2 x3 ... f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) ... f [ x0 , x1] f [ x1 , x2] f [ x2 , x3] ... f [x0, x1, x2] f [x1, x2, x3] ... f [x0, x1, x2 , x3] ... ... 表 51（均差表） 上頁(yè) 下頁(yè) 給出節(jié)點(diǎn) x0,x1,… ,xn和函數(shù)值 ?(x0),?(x1),… ,?(xn),可按如下的差商表順序逐次計(jì)算各階差商值 . xi ?(xi) 一階 差商 二階差商 三階差商 … n階差商 x0 x1 x2 x3 ? xn ?(x0) ?(x1) ?(x2) ?(x3) ? ?(xn) ?[x0,x1] ?[x1,x2] ?[x2,x3] ? ?[xn1,xn] ?[x0,x1,x2] ?[x1,x2,x3] ? ?[xn2,xn1,xn] ?[x0,x1,x2,x3] ? ?[xn3,xn2,x2,x3] … … … … … … ? ?[x0,x1,…,xn] 上頁(yè) 下頁(yè) ?? ?? ?????nk nkkkkkkkn xxxxxxxxxfxxxf0 11010 )())(()()(],[???這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明， 它表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān) ，即 f[x0 , x1 , x2 , ..., xn]= f[x1 , x0 , x2 , ..., xn]=… = f[x1 , x2 , ..., xn , x0 ] 性質(zhì) 1 均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即 稱之為 均差的對(duì)稱性（也稱為對(duì)稱性質(zhì)） 。當(dāng) kn時(shí)恒等于 0. 性質(zhì) 4 若 f(x)在 [a,b]上存在 n階導(dǎo)數(shù) , 且節(jié)點(diǎn) x0 , x1 ,…, xn∈ [a,b] ,則至少存在一點(diǎn) ??[a, b] 滿足下式 !)(],[ )(10 nfxxxf nn???例 1 f (x)=－ 6x8+7x5－ 10, 求 f [1,2, …,9] 及 f [1,2, …,10]. 解 f (8)(x)=－ 6 0 0 1 0 0 1 2 0 10 0 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , ] ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ?0 0 1( ) [ , , , ]( )( ) ( )n n nR x f x x x x x x x x x? ? ? ? Rn(x)稱為 牛頓型插值余項(xiàng) 。且 )()](,[)()](,[)(01100101nnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxfxR????????????上頁(yè) 下頁(yè) xk f(xk) 一階均差 二階均差 三階均差 四階均差 5 5 2 例 1 已知 f(x)=shx的數(shù)表 ,求二次牛頓插值多項(xiàng)式 ,并由 此計(jì)算 f()的近似值。 一般地 , f(x) 在點(diǎn) xi 處的 m 階向前差分 和 m 階向后差分 分別為 ?mfi= ?m1fi+1 ?m1fi 和 ?mfi= ?m1fi ?m1fi1 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 差分及其性質(zhì) 上頁(yè) 下頁(yè) 函數(shù)值 一階差分 二階差分 三階差分 四階差分 ... f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) ... ?f0 (?f1) ?f1 (?f2) ?f2 (?f3) ?f3 (?f4) ... ?2f0 (?2f2) ?2f1 (?2f3) ?2f2 (?2f4) ... ?3f0 (?3f3) ?3f1 (?3f4) ... ?4f0 (?4f4) ... ... 構(gòu)造 差分表 52 上頁(yè) 下頁(yè) 容易證明，差分有如下 基本性質(zhì) 性質(zhì) 1 各階差分均可用函數(shù)值表示 . 即 jinjnnjjinnninninin fcfcfcff?????? ? ???????011 )1()1(??jijnnjjninnniniin fcfcfcff???? ? ????????011 )1()1(?且有等式 ?nfi= ?nfi+n . 上頁(yè) 下頁(yè) 性質(zhì) 3 均差與差分的關(guān)系式為 111[ , , , ]!1[ , , , ]!mi i i m immi m i m i imf x x x fmhf x x x fmh??? ? ?????性質(zhì) 2 函數(shù)值均可用各階差分表示 . 即 injjjninnniniin fcfcfcff ??? ????????01 ?且有差分與微商的關(guān)系式為 ),()()( nkknnnn xxfhf ??? ???差分的其它性質(zhì)參看本章 p59習(xí)題 8， 9， 10， 11. 上頁(yè) 下頁(yè) 代入牛頓插值公式 ,可得 )1()1(!)1(!2)()(002000??????????????ntttnfttftffthxNxNnnn??稱為 牛頓向前插值公式 ，其 余項(xiàng) 為 ),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR????????? ???插值節(jié)點(diǎn)為 xi=x0+ih (i=0,1, … , n), 如果要計(jì)算 x0附近點(diǎn) x 處的函數(shù)值 f(x), 可令 x=x0+th (0? t? n) 等距節(jié)點(diǎn)差值公式 上頁(yè) 下頁(yè) 類似地 , 若計(jì)算 xn 附近的函數(shù)值 f(x), 可令 x=xn+th ( n ? t? 0) ，可得 牛頓向后插值公式 )1()1(!)1(!2)()(2??????????????ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn??),(,)()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR????????? ???及其 余項(xiàng) 上頁(yè) 下頁(yè) 例 2 設(shè) y=f(x)=ex, xi=1, , 2, , 3, 用三次插值多項(xiàng) 式求 f() 及 f()的近似值 . 解 相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下 : xi f (xi) 一階差分 二階差分 三階差分 四階差分 1 2 3