【正文】 ???nknkjj jkjknxxxxyxL0 0)(（ ） )( kjn ?)(xLn18 圖 24 輸入 xi,yi,n,x y=0 k=0,1,```,n P=1 j=0,1,```,n k=j? P=P*(xxj)(xkxj) y=y+P*yk 輸出 x,y 否 是 19 然后再通過(guò)外循環(huán) ， 即令 k從 0到 n， 累加得出插值結(jié)果 。 若記 則 就是用 近似代替 時(shí)所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差 ， 稱(chēng) 為插值多項(xiàng)式 的 余項(xiàng) 。 定理 2 設(shè) 在區(qū)間 上有直到 n+1階導(dǎo)數(shù) ， 為區(qū)間 上 n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn) ， 為滿(mǎn)足條件 : ??? ??????????? nkjj jkjk xxxxxl0)()()()( xPxfxR nn ??)(xLn)(xPn )(xf)(xRn )(xPn)(xPn)(xf ? ?ba, nxxx , 10 ?? ?ba, )(xPn)(xf20 的 n次插值多項(xiàng)式 ， 則對(duì)于任何 ， 有 其中 且依賴(lài)于 。 下面求 ， 對(duì)區(qū)間 上異于 的任意一點(diǎn) 作輔助函數(shù) 不難看出 具有如下特點(diǎn) : ⑴ () （ ） b)( a , )()(01 ??? ??? ??niin xxx)()!1( )()( 1)1(xnfxR nnn ???? ??),1,0)(()( nixfxP iin ???? ?bax ,?x)()( iin xfxP ? ),1,0(0)( nixR in ???)(xRn)()()( 1 xxKxR nn ?? ?)(xK )(xK ? ?ba,ixixx ?)()()()()( 1 txKtPtftF nn ???? ?)(tF),1,0(0)()( nixFxF i ????21 (2) 在 上有直到 n+1階導(dǎo)數(shù)，且 （ ） 等式 （ ） 表明 在 上至少有 n+2個(gè)互異的零點(diǎn) ， 根據(jù)羅爾 (Rolle)定理 ， 在 的兩個(gè)零點(diǎn)之間 至少有一個(gè)零點(diǎn) ， 因此 ， 在 內(nèi)至少有 n+1個(gè)互異的零點(diǎn) ， 對(duì) 再應(yīng)用羅爾定理 ，推得 在 內(nèi)至少有 n個(gè)互異的零點(diǎn) ， 繼續(xù)上述討論 ， 可推得 在 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) ， 若記為 ， 則 于是由 （ ） 式得 將它代入 ()即得 （ ） . 對(duì)于 ， （ ） 顯然成立 。 tF)(39。 tF)(39。 tF ? ?ba,)()1( tF n? ? ?ba, ?ixx?22 例 2 在例 1中分別用線性插值和拋物插值計(jì)算了 的 近似值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。39。 設(shè) 若將用 兩點(diǎn)作線性插值求得 的近似值記為 ， 用 兩點(diǎn)作線性插值所求得 的近似值記為 ， 則由余項(xiàng)公式 （ ） 知 .)2,1,0)((210 為已知且 ???? ixfxxxx i0 0 1 *)144115)(121115)(100115(161)115(52??????R? ?xxxxxRxxxxfx, 202102/532),)()((161)()(39。39。 例 3 在例 1中，用 做節(jié)點(diǎn)，算得的 近似值為 ，同樣，用 做節(jié)點(diǎn)，可算得 的另一近似值 ， （ ）可以估計(jì)出插值結(jié)果 的誤差為 : ],[),)()((39。21],[),)()((39。2120220221011011xxxxxxfyyxxxxxxfyy??????????????)( 121211 yyxxxxyy ?????115115)( xf ? ?20,xx2121xxxxyyyy?????12 yy ?1yy?1 2 1,1 0 0 10 ?? xx144,100 20 ?? ?y ?y 1y25 )(121144 121115115 1 ?????? y 167。這種形式的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為 牛頓﹙ Newton﹚ 插值多項(xiàng)式 ， 我們把它記成 Νn﹙ x﹚ ,即 （ ) )())(())(()(110102022???????????nn xxxxxxaxxxxaxxaa??? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?11012022????????????nnonxxxxxxaxxxxaxxaaxN??? ?nka k ,1,0 ??)())((,),)((,1 110100 ??????? nxxxxxxxxxxxx ??),1,0()( niyxP ii ???26 因此 ， 牛頓插值多項(xiàng)式 是插值多項(xiàng)式 的另一種表示形式 ,與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較 ， 不僅克服了 “ 增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算機(jī)工作必須重新開(kāi)始 ” ﹙ 見(jiàn)例 1﹚ 的缺點(diǎn) ， 而且可以節(jié)省乘 ﹑除法運(yùn)算次數(shù) 。 ? ?xNn ? ?xPn? ?nkkhxx k ,1,00 ????? ? kk yxf ?1?kx kk yy ??1kxky?kkk yyy ??? ? 1。 表 21 xk yk yk? yk?2 yk?3 yk?4x0x2x3x4x1y0y1y2y3y4y? 0y? 1y? 2y? 3y02?y12?y22?y03?y13?y04?kx28 在等距節(jié)點(diǎn) 情況下 ， 可以利用差分表示牛頓插值多項(xiàng)式 ﹙ ﹚ 的系數(shù) ， 并將所得公式加以簡(jiǎn)化 。 它適用于計(jì)算表頭 附近的函數(shù)值 。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ),(,!11 0110 nnnn xxfhn ntttthxR ?? ???? ?? ???)(表 2— 2 x xsin y? y?2 y?3 31 解 因?yàn)? ，故取 ，此時(shí) 。表中長(zhǎng)方形框中各數(shù)依次為 在 處的函數(shù)值和各階差分。 利用向后差分 ， 可簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式 （ ３ .1） ， 導(dǎo)出與牛頓前插公式 ??類(lèi)似的公式 ， 即 ， 若將節(jié)點(diǎn)的排列次序看作 ，那么 ?３ .1)可寫(xiě)成 ? ?xfy ? kx),3,2(2112112121????????????myyyyyykmkmkmkkk????.2,22121 ?????? ???????? ????hxfyhxfykkkk01, xxx nn ??),3,2(1111??????????????myyyyyykmkmkmkkk34 根據(jù)插值條件 , 可得到一個(gè)用向后差分表示的插值多項(xiàng)式 其中 t0，插枝多項(xiàng)式 ()稱(chēng)為 牛頓向后插值公式 ，簡(jiǎn)稱(chēng)后插公式。由插值余項(xiàng)公式 （２ .9） ，可寫(xiě)出后插公式的余項(xiàng) () ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?111210xxxxxxbxxxxbxxbbxNnnnnnnn???????????????? ? )0,1,1,( ???? nniyxN iin? ?? ?? ? ? ?nnnnnnnynntttyttytythxN?????????????!11!21 2??nx35 () 例５ 已知函數(shù)表同例４，計(jì)算 ，并估算截?cái)嗾`差。 一般地為了計(jì)算函數(shù)在 處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。因此，表２ ２ 用“ —— ”線標(biāo)出的各數(shù)依次給出了 在 處的函數(shù)值和向后差分值。 設(shè)函數(shù) 在一串互異的點(diǎn) 上的值依次為 。 例如 （３）當(dāng) 在包含節(jié)點(diǎn) 的某個(gè)區(qū)間上存在時(shí)， 在 之間必有一點(diǎn) 使 ],[ 10 mxxxf ?? ? ? ? ? ?mxfxfxf 、 ?10? ??? ?? ????? mi miiiiiiim xxxxxxxxxfxxxf0 11010 )())(()(],[ ???.],[],[],[ 021202210 ???? xxxfxxxfxxxf? ?? ?xf m ? ?mjxji ,1,0 ??miii xxx ?, 10 ,?? ?? ?!],[ 10 mfxxxf