【正文】 75)(144175( 13)196169)(144169()196175)(144175(12)196144)(169144()196175)(169175()175(2???????????????????L167。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 ? 拉格朗日插值多項式 設(shè)函數(shù) 在節(jié)點 處的函數(shù)值為 ，做一個 n次插值多項式 ，并 使 在節(jié)點處滿足 則 n次插值基函數(shù) ，就是在 n+1個節(jié)點 上滿足條件 的 n次多項式。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 經(jīng)過推導(dǎo)得出 n次插值基函數(shù) 顯然 滿足插值條件，所以 上面插值多項式就稱為 n次拉格朗日插值多項式 。 ),2,1,0( ,)())(())(( )())(())(()(11101110 nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkkkkkkknkkk ????? ????????????????)(xlk???nkkkn xlyxL0)()(2,1?n )(),( 21 xLxL167。 截斷誤差 ： 如果 在區(qū)間 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在， 是 n+1個節(jié)點，則用 去近似 所產(chǎn)生的截斷誤差為 其中 且依賴于 ， 。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 證明 ： 由插值條件 可以得到 ，即 n+1個節(jié)點 是 的零點，所以設(shè) 其中 是與 有關(guān)的待定函數(shù)。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 將 看作是異于節(jié)點的一個固定點，則上式 滿足 （ 1） ，即 在 上有 n+2個零點，分別為 ； （ 2）在 內(nèi)具有 n+1階導(dǎo)數(shù)，并且有 由羅爾定理，在 的兩個零點之間至少存在一個 的零 點，所以 在 內(nèi)至少有 n+1個互異的零點。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，最后可以得到 在 內(nèi)至少有 一個零點 ，即 所以 由此得到 )()1( tF n? ),( 0 nxx?),( ,0)!1)(()()( 0)1()1( nnn xxnxKfF ????? ?? ???)!1()()( )1(???nfxK n ?),( ),()!1( )()( 101)1(xxxnfxR nnn ??? ?????167。 如果插值點 位于插值區(qū)間內(nèi)，插值過程稱為 內(nèi)插 ，否則稱 為 外推 。 另外余項公式中有高階導(dǎo)數(shù)項 ，就要求 足夠 光滑否則誤差可能會比較大。 )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ??xxkx)()1( ??nf )(xf167。試分別用線性插值與二次插值計算 的近似值，并進(jìn)行誤差估計。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 取 代入二次插值公式得 誤差估計： ,3,2,1 210 ???? xxxx )23)(13())(( )32)(12())(()31)(21())(( ))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120212102??????????????????????????????????xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL00 60 ))((!2)( 21 ???? ?eR))()((!3)( 12 ????? ?eR課后題 ： 當(dāng)時 ， ，求 的二次插值多項式。 167。 2 分段低次插值 ?高次插值中的問題 一般來說，適當(dāng)提高插值多項式的次數(shù)，會提高插值結(jié) 果的準(zhǔn)確程度。并且高次插值多項式往往具有數(shù) 值不穩(wěn)定的缺點，會產(chǎn)生高次插值不準(zhǔn)確的 龍格現(xiàn)象 。常用的有 分 段線性插值 和 分段拋物線插值 。 167。 )()1( xf n?)(m a x )1( xfM nbxan ????)(1 xn??167。 ],[ ba bxxxxa nn ?????? ? 110 ? )(xf),2,1,0( )( nixfy ii ???)1,1,0( ),( ),( 11 ???? niyxyx iiii ?)(x?)(x?)(x? ],[ ba),2,1,0( )( niyx ii ????],[ 1?ii xx)(x?167。 在整個區(qū)間上用基函數(shù)來表示可以寫為 )(x? ],[ 1?ii xx)1,2,1,0( ,)( 1111 ???????????? niyxxxxyxxxxxiiiiiiii ??),(,),(),( 1100 nn yxyxyx ? )(xf)(x?bxaxlyxniii ??? ?? ,)()(0?167。 2 分段低次插值 ?插值點選擇 ： 選擇插值點的原則是盡可能在插值點的鄰近。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 拉格朗日插值法有一個 缺點 ，當(dāng)有了新的數(shù)據(jù)，插值節(jié) 點增加時，插值多項式需要重新構(gòu)造和計算，之前的計算結(jié) 果無法繼續(xù)利用。為了克服拉格朗日插值法 的缺點，介紹牛頓插值多項式。 167。 稱 為 關(guān)于節(jié)點 的 二階差商 。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 一般地，稱 為 關(guān)于節(jié)點 的 階差商 。 ikikiiikiiikiii xxxxxfxxxfxxxf????????????],[],[],[ 11211???)(xf kiii xxx ?? , 1 ? k0?k )( ixf )(xf ix ][ ixfiiiixxi xxxfxfxfii ???????? 11 )()(l i m)(1],[l i m)( 11 ????? iixxi xxfxfii167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 （ 2）差商與其所含節(jié)點的排列次序無關(guān)，即 一般地，在 k階差商 中，任意調(diào)換節(jié)點的次序 ，其值不變。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 ?差商計算 ： 利用插商的遞推定義，差商的計算可列表計算，如下表所示 三階差商二階差商一階差商 )( ii xfx????? ],[ ],[ ],[ )( ],[ ],[ )( ],[ )( )( 321032132332102122101100xxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfx167。所以滿足插值條件的拉格朗日插值多項式 又可以表示為 式中 為待定系數(shù)。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 由于 滿足插值條件，即 ，所以 由 ，得 同樣可以求出其他系數(shù)。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 有 是 n+1個節(jié)點，對于一般情況，設(shè) ，則由差商定義 nxxx , 10 ? ],[, baxxx i ??00000 )()()()(],[ xx xfxfxx xfxfxxf ??????1100101010 ],[],[],[],[],[xxxxfxxfxxxxfxxfxxxf????????221010210210210],[],[],[],[],[xxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxxxf??????nnnn xxxxxfxxxfxxxxf??? ? ],[],[],[ 101010???167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 將上式中第二式代入第一式式