【正文】 1 .0 2 9 60 .7 8 8 4 60 .4 3 5 0 50 .0 8 7 3 7 50 .0 2 22 0 .3 7 0 5 5 0 .0 7 3 8 7 53 .0 0 1 .0 9 8 6 1 0 .3 4 4 9 5 0 .0 6 4 0 0 0 .0 1 6 4 6500 .0 0 7 5 5???? xi f (xi ) 一階 二階 三階 四階 N2(x) = + ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) N4(x) = + ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) + ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) 例 4 : 由函數(shù)表求 Newton插值函數(shù) x ?2 ?1 0 1 3 y ?56 ?16 ?2 ? 2 4 0 0 1 0 1 20 1 2 3 0 1 2 3 4( ) 5 6 , [ , ] 4 0 , [ , , ] 1 3[ , , , ] 2 , [ , , , , ] 0f x f x x f x x xf x x x x f x x x x x? ? ? ? ???解 : 3 ( ) 5 6 4 0 ( 2 ) 1 3 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 2 )N x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函數(shù)值的計算 : 秦九韶算法 3 ( ) 5 6 ( 2 ) { 4 0 ( 1 ) [ 1 3 2 ] }N x x x x? ? ? ? ? ? ?例 5 : 推導(dǎo)計算公式 ???nkknP13)( 1 1 2 9 8 3 36 27 19/2 4 100 64 37/2 3 5 225 125 61/2 4 1/4 6 441 216 91/2 5 1/4 0 7 784 343 127/2 6 1/4 0 )4)(3)(2)(1(41)3)(2)(1(3)2)(1(219)1(81)(???????????????nnnnnnnnnnnP解 : 167。 6. 5 分段低次插值 一、龍格現(xiàn)象與分段線性插值 利用插值多項式逼近連續(xù)函數(shù)時 時 , 并非插值多項式的次數(shù)越高越好 . 因為當(dāng)插值多項式的次數(shù)較高時 , 給自變量一個小的擾動 , 就可能引起函數(shù)值較大的變化 , 從而使得截斷誤差很大 . 這種現(xiàn)象稱為 龍格現(xiàn)象 . ()y f x?例如： 對于連續(xù)函數(shù) ，在區(qū)間 上取等距插 值節(jié)點 21()1fx x? ?[ 5,5]?101 , 0 , 1 , 2 , ,ix i i nn? ? ? ? ?當(dāng) n =10時 , 10次插值多項式 L10(x)以及函數(shù) f (x)的圖形見 P185 由此可見 , L10(x)的截斷誤差 R10(x)= f (x)L10(x)在區(qū)間 的 兩端非常大 . 這種現(xiàn)象稱為 Runge現(xiàn)象 . 不管 n 取多大 , Runge 現(xiàn)象依然存在 . 避免 Runge現(xiàn)象的方法之一就是采用分段低次 插值 . 最簡單的就是分段線性插值 . [ 5,5]?分段線性插值 Def： 設(shè)函數(shù) 個有序插值節(jié)點 滿足 稱之為區(qū)間 [a , b]的一個 劃分 。記子區(qū)間的 ( ) [ , ] , 1f x C a b n?? 0{}niix ?01: na x x x b? ? ? ? ? ?0x nx11, nxx?101m a x { }iiinh x x?? ? ???最大長度 則稱 分段線性函數(shù) 0( ) ( ) ( )nh i iiI x f x l x?? ?為 f (x) 在區(qū)間 [a , b]上關(guān)于劃分 的分段線性插值多項式。事實上，分段線性 插值多項式即為： 010 1 0 10 1 1 0211 2 1 21 2 2 111111( ) ( ) , [ , ]( ) ( ) , [ , ]()( ) ( ) , [ , ]hnnn n n nn n n nxxxxf x f x x x xx x x xx x x xf x f x x x xIx x x x xx x x xf x f x x x xx x x x????????????????????? ??????????? ???幾何意義： 以每兩個相鄰節(jié)點為插值點構(gòu)造一次插值 (即直線 段 ), 用各直線段所連成的折線近似代替曲線 y = f (x) . 誤差估計： 若 f (x) 在插值區(qū)間 [a , b]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并記 ，則分段線性插值的余項有如下估計式： 2 m a x | ( ) |a x bM f x?? ???221| ( ) ( ) | , [ , ]8hf x I x M h x a b? ? ? ? 二、分段二次插值 設(shè) , 已知 f (x)在節(jié)點 上的函數(shù)值 . 在區(qū)間 上采用二次插值 , 此時插值節(jié)點為 3( ) [ , ]f x C a b?1 1 12 2 20 1 21 nna x x x x x x x b??? ? ? ? ? ? ? ? ?11220( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , , ( )inif x f x f x f x f x?1[ , ] ( 1 , 2 , , )iix x i n? ? ()2 ()iPx121 ,iiix x x? ?12121 1 12 2 21212() 1211 1 1111( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , [ , ] ( 1 , 2 , , )( ) ( )iii iii ii i i i ii i ii ii i ii i i ix x x x x x x xP x f x f xx x x x x x x xx x x xf x x x x i nx x x x? ?? ?? ? ?? ? ?? ??? ??? ????? ? ? ???? ? ???截斷誤差 12( ) ( )2 2 1()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3!iiii ifR x f x P x x x x x x x?? ????? ? ? ? ? ?若節(jié)點等距 , 記 , 則 1iih x x ???12 11,2i i ii hx x x x h??? ? ? ? ?設(shè) 12 1[ 1 , 1 ] , [ , ]2 iii hx x s s x x x??? ? ? ? ? ?則 1212( ) ( )221( ) ( )2( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )22iiiii ihP x P x ss s s sf x s s f x f x?? ?? ? ???? ? ? ? ?此時 3()21()( ) ( 1 ) ( 1 ) , [ 1 , 1 ] , [ , ]3! 8iiifhR x s s s s x x? ?????? ? ? ? ? ? ?若 3[ , ]m a x | ( ) |x a b f x M? ??? ?則 3( ) 33233| ( ) | | ( 1 ) ( 1 ) | , ( 1 , 2 , , )4 8 2 1 6i MhR x s s s M h i n? ? ? ? ?()2 ( ) ( ) ( 0 )iP x f x h? ? ?例 : 已知 y = f (x) 的觀測數(shù)據(jù)如下 求分段線性插值和分段二次插值 P1(x) 和 P2(x) . x 0 1 2 3 4 5 6 f (x) 1 5 3 1 2 4 8 167。 定理 1： 設(shè) ，則在區(qū)間 [x0 , x1]上滿足插值條件 的不超過 3次的多項式 H (x)存在且唯一，并可構(gòu)造如下： ( ) , ( ) 0 , 1k k k kH x y H x m k?? ? ?1 01( ) [ , ]f x C x x?0 0