【正文】 均差型余項(xiàng)。Newton插值的優(yōu)點(diǎn)是：每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，即因此便于遞推運(yùn)算。注1：以上推導(dǎo)過(guò)程只強(qiáng)調(diào)是個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)，并不意味著是按由小到大或由大到小的順序排列。作出Newton插值多項(xiàng)式的步驟：1）列表計(jì)算各階均差，如表21；表21一階均差二階均差n階均差12）將表21中下劃線對(duì)角線項(xiàng)與最后一列的同行對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘后相加，即得Newton插值多項(xiàng)式。對(duì)(3) (4) 輸出，停機(jī)。解 先按均差表21對(duì)例2構(gòu)造均差表，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表22表22一階均差二階均差利用Newton插值公式(212)有取，得。注意到，從而得到的真值為，因此得出。例3 給出的函數(shù)表23，求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算的近似值。表 一階二階三階四階五階從均差表看到4階均差近似常數(shù)，故取4次插值多項(xiàng)式作近似即可。此例的截?cái)嗾`差估計(jì)中，5階均差用近似。167。如果函數(shù)在插值區(qū)間上變化很劇烈，則采用不等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式更適宜。當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)，即相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之差（稱(chēng)為步長(zhǎng)）為常數(shù)，此時(shí)關(guān)于節(jié)點(diǎn)間函數(shù)的平均變化率（均差）可用函數(shù)值之差（差分）來(lái)表示。符號(hào)分別稱(chēng)為向前差分算子，向后差分算子及中心差分算子。為以下討論方便起見(jiàn)，再引入常用的算子符號(hào)，稱(chēng)為步長(zhǎng)的移位算子，為單位算子（也稱(chēng)為不變算子）。性質(zhì)2 各階差分可表示成函數(shù)值的線性組合，例如 (218) (219) (220)其中為二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)。因此，如果一個(gè)列表函數(shù)的階差分已接近常數(shù)，則用一個(gè)次多項(xiàng)式去逼近它是恰當(dāng)?shù)?。這里我們只推導(dǎo)常用的前插與后插公式。其余項(xiàng)為 (226)如果要求函數(shù)表示附近的函數(shù)值，此時(shí)應(yīng)用牛頓插值公式(212)，插值點(diǎn)應(yīng)按 的次序排列，有作變換，并利用公式(223)，代入上式得 (227)此式稱(chēng)為Newton向后插值公式。構(gòu)造Newton向前、向后插值公式的具體步驟：1）計(jì)算各階差分，見(jiàn)表24表24一階差分二階差分三階差分…n階差分1()()()1…2）將以上表中下劃線對(duì)角線項(xiàng)與對(duì)應(yīng)行右端因子乘積求和即得Newton向前插值多項(xiàng)式；Newton向后插值公式則為最后的節(jié)點(diǎn)所在行的各階差分值與對(duì)應(yīng)列下端因子乘積之和。解 取，有。如果取，用二階Newton向后插值公式，則得代入上式得其誤差為例5 給出在處的函數(shù)值，試用4次等距節(jié)點(diǎn)插值公式計(jì)算及的近似值并估計(jì)誤差。用牛頓向前插值公式(225)計(jì)算的近似值，取，用表25上半部差分，得表 誤差估計(jì)由(226)可得其中計(jì)算可用牛頓向后插值公式()，用差分表25中下半部差分，得于是，誤差估計(jì)由(228)得其中167。本節(jié)主要討論在節(jié)點(diǎn)處插值函數(shù)與函數(shù)的值及一階導(dǎo)數(shù)值均相等的Hermite插值。我們仿照與構(gòu)造Lagrange插值公式相類(lèi)似的方法來(lái)解決Hermite插值問(wèn)題。證明 可以設(shè)想，如果我們能夠構(gòu)造出兩組次多項(xiàng)式：，并滿足條件 (230)則顯然多項(xiàng)式 (231)滿足插值條件(229)。由于在處函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均為0，故它們應(yīng)含因子，因此可以設(shè)為其中為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)，即。令，則由(229)得是一個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式，且有個(gè)二重根，所以，即。 設(shè)為區(qū)間上的互異節(jié)點(diǎn)，為的過(guò)這組節(jié)點(diǎn)的次Hermite插值多項(xiàng)式。取節(jié)點(diǎn)，插值基函數(shù)是，兩節(jié)點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式為 (235)其插值余項(xiàng)為 (236)例6 求滿足及的插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)表達(dá)式。由條件可確定常數(shù)，通過(guò)計(jì)算可得與的誤差函數(shù)為由于以及，故可設(shè)其中為待定函數(shù)。且，故在內(nèi)有五個(gè)零點(diǎn)（二重根算兩個(gè)）。5 分段低次插值 高次插值的病態(tài)性質(zhì)在代數(shù)插值中，為了提高插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)的逼近程度，自然希望增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)。但是，令人遺憾的是事實(shí)并非如此。在非插值節(jié)點(diǎn)上往往出現(xiàn)誤差函數(shù)先遞減，而后隨著增加而增加，并且變得無(wú)界。例如，有，對(duì)固定的，當(dāng)增加時(shí)呈指數(shù)增長(zhǎng)。例如，對(duì)于函數(shù)，在區(qū)間上取節(jié)點(diǎn)，所作Lagrange插值多項(xiàng)式為，其中是Lagrange插值基函數(shù)。當(dāng)時(shí)，圖給出了和的圖形。它表明通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)來(lái)提高逼近程度是不宜的，一般插值多項(xiàng)式的次數(shù)在范圍內(nèi)。而且只要連續(xù)，節(jié)點(diǎn)越密，近似程度越好。用折線近似曲線，相當(dāng)于分段