【正文】 為 P(n≥7) 計(jì)算結(jié)果分析 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 28 系統(tǒng)里沒有顧客的概率 :P0 平均排隊(duì)的顧客人數(shù)： Lq 系統(tǒng)里的平均顧客數(shù) ： Ls 一位顧客平均排隊(duì)時(shí)間： Wq 一位顧客平均逗留時(shí)間： Ws 顧客到達(dá)系統(tǒng)必須等待排隊(duì)的概率 Pw 系統(tǒng)里有 7個(gè)或更多顧客的概率： P(n≥7) 增設(shè)一個(gè)服務(wù)窗口，排隊(duì)的規(guī)則為每個(gè)窗口排一個(gè)隊(duì)，先到先服務(wù)，并假設(shè)顧客一旦排了一個(gè)隊(duì)，就不能再換到另一個(gè)隊(duì)上去。 系統(tǒng)里沒有顧客的概率 平均排隊(duì)的顧客人數(shù) 系統(tǒng)里的平均顧客數(shù) 一位顧客平均排隊(duì)時(shí)間 一位顧客平均逗留時(shí)間 顧客到達(dá)系統(tǒng)必須等待排隊(duì)的概率 系統(tǒng)里有 7個(gè)或更多顧客的概率為 單臺(tái)泊松 如果在第二種方法中把排隊(duì)的規(guī)則變一下，在儲(chǔ)蓄所里只排一個(gè)隊(duì)，這樣的排隊(duì)系統(tǒng)就變成了 M/M/2排隊(duì)系統(tǒng)。 在不相交（重疊）的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨(dú)立； 在時(shí)間區(qū)間 [t, t+?t) 內(nèi)到達(dá) k個(gè)顧客的概率與 t無關(guān)，只與 ?t 有關(guān)，約與區(qū)間長(zhǎng) ?t成正比，即： P1(t， t+ ?t )=λ?t +o(?t ) 其中： o(?t )，當(dāng) ?t →0 時(shí)關(guān)于 ?t的高階無窮??； λ 0,常數(shù)，它表示單位時(shí)間有一個(gè)顧客到達(dá)的概率，稱為概率強(qiáng)度 對(duì)于充分小的 ?t 在區(qū)間 [t, t+?t) 內(nèi)有 2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，可以忽略不計(jì)。 對(duì)于區(qū)間 [0, t+?t) 可分成兩個(gè)互不重疊的區(qū)間 [0, t) 和 [t, t+?t) ，設(shè)現(xiàn)在到達(dá)的顧客總數(shù)是 n，分別出現(xiàn)在這兩個(gè)區(qū)間上，不外乎下列三種情況 區(qū)間 [0， t) [t， t+ ?t ） [0， t+ ?t ） 情況 個(gè)數(shù) 概率 個(gè)數(shù) 概率 個(gè)數(shù) 概率 (A) n Pn(t) 0 1λ?t +o(?t ) n Pn(t)( 1λ?t +o(?t ) ) (B) n1 Pn1(t) 1 λ?t n Pn1(t) λ?t (C) n2 Pn2(t) 2 o(?t ) n o(?t ) n3 Pn3(t) 3 o(?t ) n o(?t ) ….. …… …… …… … …. 0 Pn(t) n o(?t ) n o(?t ) 單臺(tái)泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 32 區(qū)間 [0， t) [t， t+ ?t ） [0， t+ ?t ） 情況 個(gè)數(shù) 概率 個(gè)數(shù) 概率 個(gè)數(shù) 概率 (A) n Pn(t) 0 1λ?t +o(?t ) n Pn(t)( 1λ?t +o(?t ) ) (B) n1 Pn1(t) 1 λ?t n Pn1(t) λ?t (C) n2 Pn2(t) 2 o(?t ) n o(?t ) n3 Pn3(t) 3 o(?t ) n o(?t ) ….. …… …… …… … …. 0 Pn(t) n o(?t ) n o(?t ) 因?yàn)椋趨^(qū)間 [0, t+?t) 內(nèi)到達(dá) n個(gè)顧客應(yīng)是表中三個(gè)互不相容的情形之一，所以其概率： P n(t， t+ ?t )應(yīng)是三者概率之和。 已知顧客到達(dá)服從參數(shù)為 λ 的泊松過程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布。（ t， t+Δ t）內(nèi)到達(dá)或離開 ,2個(gè)及其以上 沒列入）。 （ 1 μΔ t +O ( Δ t) ） B n+1 √ n 1 λΔ t+ O ( Δ t) μΔ t +O ( Δ t) P n +1 (1 λΔ t+ O ( Δ t)) （ 1 μΔ t +O ( Δ t) ） D n √ √ n λΔ t+ O ( Δ t) μΔ t +O ( Δ t) P n ( λΔ t+ O ( Δ t)) 單臺(tái)泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 38 )t()t)(t(P)t)(t(P)tt(P ????????????? 11 100 ∴ )t(P)t(Pdt )t(dP 100 ????? ∴ ……… (2) 這種系統(tǒng)狀態(tài) (n)隨時(shí)間變化的過程就是生滅過程 （ Birth and Death Process） 。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 39 由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖： 由（ 4）得： 001 PPP ????? 其中 ρ ——服務(wù)強(qiáng)度 將其代入（ 3）式并令 n=1,2,…( 也可從狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中看出狀態(tài)平衡方程 )得： 011 ???????? ?? nnn P)(PP010 ????? PP ……… (3 ……… (4) 關(guān)于 Pn的差分方程 n1 n n+1 2 0 1 …… ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 單臺(tái)泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 40 0120 ???????? P)(PP n=1 0020 ?????????? P)(PP ∴ 0202021 PP)(P)(P ????????????? ????????? n=2 0231 ???????? P)(PP00230 ????????????????????? P)(PP ∴ 0303022 23 1 PP)(P)(P ????????????? ???? ???????單臺(tái)泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 41 以此類推 … ，當(dāng) n=n時(shí)， 00)( PPPnnn ????? ……… (5) 1????? ∵ 10????nnP 及概率性質(zhì)知： 11 1000 ?????????PPnn （ 數(shù)列的極限為 ） ∴ ??11??? 10Pnn )(P ????? 1 ……… (6) ∴ 否則排隊(duì)無限遠(yuǎn) 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) 單臺(tái)泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 42 2. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) (1) 系統(tǒng)中的隊(duì)長(zhǎng) Ls（ 平均隊(duì)長(zhǎng) ） ? ? nnnns nPnL ???????? ?????? 001...)((n...)()()( n ?????????????????????? 113121 32...nn... nn ?????????????????? ? 143322 3322?????????????132 ...... n (0ρ1) ???????????????????1?????Ls 即 : ……… (7) 期望 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 43 (2) 隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù) Lq ? ? nnnnq nPnL ?????????? ?????? 111)1()1(? ? nnnn)(n ???????????? ?? ???? 1111?????????????12sL ……… (8) (3) 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間 Ws， 顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間是隨機(jī)變量 ， 可以證明 ， 它服從參數(shù)為 μ λ 的負(fù)指數(shù)分布 ， 分布函數(shù) ???????? 11nn單臺(tái)泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 44 和密度函數(shù)為： w)(e)w(F ?????? 1w)(e)()w(f ???????? （ w≥0 ） )WsLs( ??? ? ?????1wEWs ∴ (4)顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間 Wq 顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間應(yīng)為 Ws減去平均服務(wù)時(shí)間。 多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、 負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型（ M / M / C / ∞ / ∞） 1. 系統(tǒng)中無顧客的概率 設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ? ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ? 。 系統(tǒng)里有 6個(gè)人的概率或多于 6個(gè)人的概率為 。顧客的到達(dá)過程仍服從泊松分布，平均每小時(shí)到達(dá)顧客仍是 36人；儲(chǔ)蓄所的服務(wù)時(shí)間仍服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)仍能處理 48位顧客的業(yè)務(wù)，其排隊(duì)規(guī)則為只排一個(gè)隊(duì)，先到先服務(wù)。 解 : C = 2， 平均服務(wù)率 : ? = 48/60 = 。 當(dāng)然在多服務(wù)臺(tái)的 M/M/C模型中，計(jì)算求得這些數(shù)量指標(biāo)是很繁瑣的。 M / M / 2使得服務(wù)水平有了很大的提高，每個(gè)顧客的平均排隊(duì)時(shí)間從 ，每個(gè)顧客在系統(tǒng)里逗留時(shí)間從 2分鐘減少到 ，平均排隊(duì)的人數(shù)也從 ，系統(tǒng)里平均顧客數(shù)也從 *2= 。 在儲(chǔ)蓄所里使用 M / M / 2模型與使用兩個(gè) M / M / 1模型，它們的服務(wù)臺(tái)數(shù)都是 2，服務(wù)率和顧客到達(dá)率都一樣，只是在 M / M / 2中只排一隊(duì)，在 2個(gè) M / M / 1中排兩個(gè)隊(duì)，結(jié)果卻不一 樣。 若把一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的單位時(shí)間的總費(fèi)用“ TC”定義為服務(wù)機(jī)構(gòu)的單位時(shí)間的費(fèi)用和顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中逗留單位時(shí)間的費(fèi)用之和。 排隊(duì)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)分析 Cw：為一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中逗留單位時(shí)間 付出的費(fèi)用； Ls：為在排隊(duì)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)； Cs：為每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間的費(fèi)用； C為服務(wù)臺(tái)的數(shù)目。 對(duì)儲(chǔ)蓄所 M / M / 2 模型可知 Ls =， C=2，得 TC = cw Ls + cs C= 元 /每小時(shí)。 例示： 通過經(jīng)濟(jì)分析可知儲(chǔ)蓄所 M/M/2較 M/M/1，不僅更為有效率也是一個(gè)更為經(jīng)濟(jì)的模型 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 55 M / G / 1 / ∞ / ∞ 單位時(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ? ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ?， 一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間 1 / ? ，服務(wù)時(shí)間的均方差 ?。 、任意服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 56 例 1 某雜貨店只有一名售貨員，已知顧客的到達(dá)過程服從泊松分布，平均到達(dá)率為每小時(shí) 20人；不清楚這個(gè)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間服從什么分布，但從統(tǒng)計(jì)分析知道售貨員平均服務(wù)一名顧客的時(shí)間為 2分鐘，服務(wù)時(shí)間的均方差為 。 解： 這是一個(gè) M / G / 1 的排隊(duì)系統(tǒng)，其中 ? = 20/60 = 人 /分鐘，1/ ? = 2分鐘 ， ? = 189。 P0 =1? ? /? = , Lq = (人 ), Ls = Lq + ? /? = 1. 7078 (人 ), Wq = Lq / ? = （分鐘） , Ws = Wq+ 1/? =（分鐘） , Pw = ? /? = 。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 57 167。 1. 系統(tǒng)中無顧客的概率 P0=1 ? ? /? 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客