【正文】 于是 )( 0c o s///20m a x3 ??? ?? xxM fxxx622)0 2 3 )()(0 1 6 )((61)3 3 6 (3 3 6 i n)3 3 6 ( L??????R))()((6|)( 21031| xxxxxxx MR ????2022/8/23 例 2: 已測得某地大氣壓強隨高度變化的一組數(shù)據(jù) 高度 (m) 0 100 300 1000 1500 2022 . 壓強 (kgf/m2) 試用二次插值法求 1200米處的壓強值 . 解：設(shè) x為高度， y為大氣壓強的值， 選取 (1000,) ,(1500,), (2022,)三點構(gòu)造二次插值多項式 (xx1)(xx2) (xx0)(xx2) (xx0)(x x1) p2(x)= y0 + y1 + y2 (x0 x1)(x0x2) (x1 x0)(x1 x2) (x2x0)(x2 x1) 代入已知的數(shù)值，得 p2(1200)=(12001500)(1200 2022)/(10001500)(10002022)+(12001000)(12002022)+(12001000)(12001500)/(20221000)(20221500)=300*800*+200*800*200*300*所以 y(1200) ? p2(1200)= (kgf/m2) 插值函數(shù)，插值節(jié)點 n次插值基函數(shù) 范德蒙 (Vandermonde)行列式 拉格朗日 (Lagrange)插值多項式 插值余項 用代數(shù)多項式作為研究插值的工具，就是所謂的代數(shù)插值。 我們稱 p(x) 為 f(x) 的 插值函數(shù) ，點 xi 為 插值節(jié)點 。 若 n 次多項式 li(x) (i=0,1, ..., n)在 n+1個節(jié)點 x0? x1?... ? xn上滿足條件 就稱這 n+1個 n次多項式 l0(x), l1(x), … ,l n(x) 為節(jié)點 x0， x1， …, xn上的 n 次插值基函數(shù)。 Vandermonde行列式 = xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10. . .1. . .. . .. . .. . .. . .. . .1. . .1), . . . ,V( ?? ?????niijji xx110)( 形如 的插值多項式 Ln(x)稱為 拉格朗日 (Lagrange)插值多項式 。 為了使 Newton插值多項式具有承襲性 ， 令插值函數(shù)具有下列形式： 式中 稱為 Newton插值基函數(shù) 。 0 0 1 11 0 0 1 1()( ) ( ) ( ) ( )n n no n nN x c c cc c x x c x x x x x x? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?01( ) 1 , ( ) ( ) ( ) , 11iix x x x x i ni?? ??? ? ? ? ?? ? 差商及其性質(zhì) 定義 給定一個函數(shù)表 記 ★ 一般的 , f(x)關(guān)于 xi,xi+1,… ,xi+k的 k 階差商記作 f[xi,xi+1,… ,xi+k ] )(. . .)()(. . .1010nnxfxfxfxxx時當(dāng)其中 jixx ji ?? ,? ? ., .. . ,1,0),( nixfxf ii ??的零階差商。 ( )nini nifxf x x xx?? ?? ?00, , , , , , , , , , ,i j nj i nf x x x xf x x x x?? ???????01( 3 ) ( ) [ , ], , , [ , ] ,[ , ] ,nf x a b nx x x a bab???設(shè) 在 上 有 階 導(dǎo) 數(shù) , 且 則 存 在 使 下 式 成 立 。 Ne wton 插值問題是尋找次數(shù)≤ｎ的多項式 ? ? ? ?01, , ,nnN x s p a n ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?0 0 1 10 1 00 1 1n n nnnN x c c cc c x xc x x x x x x? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 使?jié)M足條件： ? ? ? ? ? ?, 0 ,1 , 2 , ,n i iN x f x i n?? 在式? ?nNx的表示式中，分別令：? ?, 0 ,1 , 2 , ,ix x i n??根據(jù)插值條件和差商定義可得： ],[],[][)(10101000nnxxxfcxxfcxfxfc???????10 0 1 00 1 2 0 10 0 1 1, , ,( ) ( ) [ , ] ( )[ , ] ( ) ( )[ , , ] ( ) ( ) ( )onnnnc c cN x f x f x x x xf x x x x x x xf x x x x x x x x?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?將 代 入 得 到 ：，)())(](,[)()()](,[)()](,[)()()()(1010101000100100kkkkxxxxxxxxfxNxNxxxxfxNxxxxfxfxNxfxN?????????????????? 因此 ， 每增加一個結(jié)點 ， Newton插值多項式只增加一項 ， 克服了 Lagrange插值的缺點 。 插值余項問題： 定理：設(shè)? ?nNx是 n 次 Newton 插值多項式，則 ? ? ? ? ? ?0 1 1, , ,n n nR x f x x x x x??? 證明：表達式? ? ? ? ? ?0 1 1, , ,n n nR x f x x x x x? ?? 在? ?, 0 ,1 , 2 , ,ix x i n??處是顯然成立的。 于是上式變?yōu)? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 1, , ,nnnf x N xf x x x x x???? 從而插值余項為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 1, , ,nnnnR x f x N xf x x x x x????? x y f[ Xi,Xj] f[ Xi,Xj,Xk] …… f[X0,X1,…, Xn]X0 Y0X1 Y1 f[X0,X1]X2 Y2 f[X1,X2] f[X0,X1,X2]X3 Y3 f[X2,X3] f[X1,X2,X3] ………… …… …… …… ……Xn Yn f[Xn1,Xn] f[Xn2,Xn1,Xn] …… f[X0,X1,…, Xn]插 商 表 例 1:給定數(shù)據(jù)表 f(x)=lnx數(shù)據(jù)表 xi f(xi) Newton差商插值多項式 ， 近似計算f()的值 Newton差商插值多項式 N4(x) 解 :差商表 []2 .2 0 0 .7 8 8 4 62 .4 0 0 .8 7 5 4 7 0 .4 3 5 0 52 .6 0 0 .9 5 5 5 1 0 .4 0 0 1 0 0 .0 8 7 3 7 52 .8 0 1 .0 2 9 6 2 0 .3 7 0 5 5 0 .0 7 3 8 7 5 0 .0 2 2 5 03 .0 0 1 .0 9 8 6 1 0 .3 4 4 9 5 0 .0 6 4 0 0 0 .0 1 6 4 6 0 .0 0 7 5 5iix f x???1 階 差 商 2 階 差 商 3 階 差 商 4 階 差 商0 7 3 8 7 7 0 5 2 9 6 4 0 0 1 5 5 5 8 7 5 4 ][?二階差商一階差商iixfxN2(x)=+()(x)() f() ? N2() N4(x)= +(） ()() +()()() ()()()() 當(dāng)插值結(jié)點等距時，我們可以簡化 Newt on 差商插值公式，即給出： （ 1 ） 差分的定義 （ 2 ） 差分與差商的關(guān)系 （ 3 ） Newton 向前差分插值公式及余項 （ 4 ） Newton 向后差分插值公式及余項 Ne wton 差商插值多項式對插值結(jié)點的分布沒有要求。 差分定義 設(shè)等距結(jié)點0ix x ih??，