【正文】 插函數(shù)的密和程度更好 。 假設 1km ?? 時命題成立，則有 ? ?? ?111 1,1!mii i m myf x xmh???? ????? ?? ?11 1,1!mii i m myf x xmh??? ????所以有 ： ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 111111111, , , ,1 ! 1 !1!!i i mi i i m i i i mi m immiimmmmiimmimf x xf x x x f x x xxxyymhm h m hyymhymh?? ? ? ? ? ?????????????????????????? ? ? ??? 結(jié)論成立 。 111n n ni i iy y y???? ? ? ? ?稱為? ?fx在ix點的 n階向前差分。 必須注意， n次代數(shù)插值問題的解是存在且唯一的，因此， Newton插值與 Lagrange 插值只是形式上不同，若將它們按 x的冪展開，所得的多項式是完全一樣的。 0( ) ( )njjnjx y l xL?? ?設01, , ,nx x x為 1n ? 個互異的插值節(jié)點，( ) ( 0 , 1 , , )il x i n?為拉格朗日插值基函數(shù)，證明： （ 1 ）0( ) 1niilx??? （ 2 ）0()nkkiiil x x x??? （ 3 ） 0( ) ( ) 0nkiiix x l x???? ( 0 ,1 , , )kn ? 插值基函數(shù)性質(zhì) 證明：（ 1 ）對 ( ) 1fx ? ，在01 , , , nx x x處進行 n 次拉格朗日插值，則有 : ( 1 )10001 ( ) ( )()( ) 1 ( )( 1 ) !( ) 1 0 ( )nnnnininniiiiL x R xfl x xnl x l x?????????? ? ??? ? ? ????( 2 ) 對 () kf x x? ， ( 0 ,1 , , )kn ? 在 01 , , , nx x x處進行 n 次拉格朗日插值，則有 : 0()nkkiiil x x x????(3) 將 () kixx ? 按二項式展開得到： 0( ) ( 1 )kk k j j k jiijkx x x xj?????? ? ??????則有： 0000000( ) ( ) ( ( 1 ) ) ( )( 1 ) ( 1 ))(0(1)n n kk k j j k ji i i ii i jkkk j k j k j k jjnjjiii jkk k jjkx x l x x x l xjkkxxjjkxx l x xj??? ? ?? ? ? ????????? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?????? ? ?????Newton插值 拉格朗日插值多項式形式對稱，計算較方便但由于p(x)依賴于全部基點，若算出所有 p(x)后又需要增加基點，則必須重新計算，為了克服這個缺點，我們引進牛頓差商插值多項式。 用線性插值及拋物插值計算，取 x0= 及 x1= , 又由公式得 y1 y0 ?L1()=y0+————( x0) x1 x0 =+ ——— () = . 其截斷誤差得 其中 ，因 f(x)=sinx， f//(x)= sinx， 可取 ，于是 ?R1()?=?sin –L1()? ?1/2()()()??10–5， 若取 x1=， x2=，則線性插值為 ， ))((2)( 1021 xxMR xxx ???)(//10m a x2 xfxxxM ???3 3 0 3 8 )0 0 3 (0 1 8 7 8 3 3 3 4 8 )3 3 6 (3 3 6 1~0 . 3 3 6 7si n112121)(?????????? xxxyyyL)( 110)(m a x2 ????? xS i nxxx xS i nM其截斷誤差為 ， 其中 于是 用拋物插值計算 ，可得 ))((2)(~ 2121 xxM xxxR ???3 5 2 )(//102 m a x ?? ?? xfM xxx))()((21)(~ i n)(~11?????? LR)())(())(())(())(())(())(( i n4442120210221012012022210y??????????????????????????????Lxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxxxxx這個結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明查表時用二次插值精度已相當高了。由 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0 , l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0 , l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 . 這樣 l0(x)含有 xx1 , xx2 兩個因子，令 l0(x)=λ(xx1)(xx2) ,利用 l0(x0)=1 確定其中的系數(shù) λ，得 (xx1)(xx2) l0(x)= , (x0x1)(x0x2) 類似的可以得出 l1(x) , l2(x) : (xx0)(xx2) (xx0)(xx1) l1(x)= , l2(x)= . (x1x0)(x1x2) (x2x0)(x2x1) 于是 (xx1)(xx2) (xx0)(xx2) (xx0)(xx1) L2(x)=y0 + y1 + y2 ...(6) (x0x1)(x0x2) (x1x0)(x1x2) (x2x0)(x2x1) l0(x) , l1(x) , l2(x) 稱為以 x0 , x1 , x2為節(jié)點的 插值基函數(shù) 。解出 ai(i=0,1,2,…n), P n(x)就可構(gòu)造出來了。 求近似函數(shù)的方法 :由實驗或測量的方法得到所求函數(shù) y=f(x) 在互異點 x0 , x1, ... , xn 處的值 y0 , y1 , … , yn , 構(gòu)造一個簡單函數(shù) p(x) 作為函數(shù) y=f(x) 的近似表達式 y= f(x) ? p(x) 使 p(x0)=y0 , p(x1)=y1 , ?, p(xn)=yn , (a) 這類問題稱為 插值問題 。常用的插值函數(shù)是多項式。 xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10. . .1. . .. . .. . .. . .. . .. . .1. . .1), . . . ,V( ?? ?????niijji xx110)(Lagrange插值 一、 Lagrange插值多項式 先從最簡單的線性插值 (n=1)開始。 ],[)( baCxf n?( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nR x f x L x xnf ? ???? ? ? ?1 0 1( ) ( ) ( ) . . . ( )nnx x x x x x x? ? ? ? ? ?證明 : 記 Rn(x) = f(x) Ln(x) 顯然 Rn(xi ) =0 ,i=0,1,… ,n, 故可設 Rn(x)=K(x) ?n+1(x) 現(xiàn)在 [a,b]上任意固定一點 x,引進輔助函數(shù) g(t)=f(t) Ln(t)K(x)?n+1(t), (*) 則 g(t)在 [a,b]上具有 n階連續(xù)導數(shù) ， 在 (a,b)內(nèi)存在 n+1階導數(shù) ， 在 t= x0, x1,… , xn, x諸點處皆等于零 ,即 g(t)在 [a,b]中有 n+2個零點 ,由 Rolle定理知 g39。 我們稱 p(x) 為 f(x) 的 插值函數(shù) ，點 xi 為 插值節(jié)點 。 0 0 1 11 0 0 1 1()( ) ( ) ( ) ( )n n no n nN x c c cc c x x c x x x x x x? ? ??? ? ? ?? ? ? ?