【正文】 儒 計(jì)算方法 第 7章 插值法 插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一 ， 有著廣泛的應(yīng)用 。 f(x) 稱為 被插值函數(shù) ， p(x) 稱為插值函數(shù) ， x0 , x1, ... , xn 稱為 插值節(jié)點(diǎn) 。 估計(jì) f(x)在區(qū)間 [a,b]中某點(diǎn) 的值時(shí)，當(dāng) 屬于包含結(jié)點(diǎn) 的最小閉區(qū)間時(shí)，相應(yīng)的插值稱為內(nèi)插，否則稱為外插。但遺憾的是 方程組 (3)是病態(tài)方程組 ,當(dāng)階數(shù) n越 高時(shí)，病態(tài)越重 。 (5) l0(x), l1(x)稱為以 x0 , x1 為節(jié)點(diǎn)的 插值基函數(shù) 。 仿照線性插值和二次插值的辦法， 進(jìn)一步討論一般形式的 n 次多項(xiàng)式 Ln(x)=a0 +a1x +a2x2 + …+ a nxn , 使其滿足 Pn(x0)=y0 , Pn(x1)=y1 , ...... , Pn(xn)=yn …(7) 我們?nèi)詮臉?gòu)造 插值 基函數(shù) 著手，先對某個(gè)固定的下標(biāo) i，作 n 次多項(xiàng)式 li(x) , 使其滿足條件 …(8) 容易求得 (xx0)(xx1)...(xxi1)(xxi+1)...(xxn) li(x)== (xix0)(xix1)...(xixi1)(xixi+1)...(xixn) 0,()1,ijijijlx??? ???0njj ijijx xxx????? 00 1 1 100 1 1 100()( ) ( )( ) ( ) ...( ) ( ) ...( )()( ) ( ) ...( ) ( ) ...( )()inn jjjnj j nnjjj j j j j j j nnnijijjiijxxxx x x x xxxlylLx x x x xyLx x x x x x x x x xxyxx??????????? ? ? ? ??? ? ? ? ??????? ?將 代 入中 得 ....(9) 公式（ 9）就是 Lagrange插值多項(xiàng)式， li(x)稱為以 x0 , x1,... , xn為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange插值基函數(shù) 。 這樣 ， 由(*)式便有 由此 得 K(x)=f(n+1)( ?)/(n+1)! . 代入 Rn(x)=K(x) ?n+1(x),定理得證 . ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n nng f L K x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 上式稱為帶余項(xiàng)的 Lagrange插值公式 ,只要 f(x)具有 n+1階導(dǎo)數(shù) ,就有上式成立 ,其余項(xiàng)為 特別 ， 當(dāng) n=1時(shí) ， 取 x0=a,x1=b， 則有 令 x1x0=ba=h, x= x0+t h , 0?t?1 則 易證 ， 當(dāng) 0 ? t ? 1時(shí) ,|t(1t)|的最大值為 1/4， 1( 1 ) ()( 1 ) !( ) ( ) ( )nnfnf x p x x a bn? ?????? ? ? ?)()( 1)!1( )()1( xxR nnfn n ???? ??)(!2 )()( 21 xfxR ?????22 )1()( httx ????|)(|8|)(| )2(21 ?fhxR ? 應(yīng)當(dāng)指出，余項(xiàng)表達(dá)式只有在 f(x) 的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。其截?cái)嗾`差得 其中 于是 )( 0c o s///20m a x3 ??? ?? xxM fxxx622)0 2 3 )()(0 1 6 )((61)3 3 6 (3 3 6 i n)3 3 6 ( L??????R))()((6|)( 21031| xxxxxxx MR ????2022/8/23 例 2: 已測得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù) 高度 (m) 0 100 300 1000 1500 2022 . 壓強(qiáng) (kgf/m2) 試用二次插值法求 1200米處的壓強(qiáng)值 . 解：設(shè) x為高度， y為大氣壓強(qiáng)的值， 選取 (1000,) ,(1500,), (2022,)三點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式 (xx1)(xx2) (xx0)(xx2) (xx0)(x x1) p2(x)= y0 + y1 + y2 (x0 x1)(x0x2) (x1 x0)(x1 x2) (x2x0)(x2 x1) 代入已知的數(shù)值，得 p2(1200)=(12001500)(1200 2022)/(10001500)(10002022)+(12001000)(12002022)+(12001000)(12001500)/(20221000)(20221500)=300*800*+200*800*200*300*所以 y(1200) ? p2(1200)= (kgf/m2) 插值函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn) n次插值基函數(shù) 范德蒙 (Vandermonde)行列式 拉格朗日 (Lagrange)插值多項(xiàng)式 插值余項(xiàng) 用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具，就是所謂的代數(shù)插值。 若 n 次多項(xiàng)式 li(x) (i=0,1, ..., n)在 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) x0? x1?... ? xn上滿足條件 就稱這 n+1個(gè) n次多項(xiàng)式 l0(x), l1(x), … ,l n(x) 為節(jié)點(diǎn) x0， x1， …, xn上的 n 次插值基函數(shù)。 為了使 Newton插值多項(xiàng)式具有承襲性 ， 令插值函數(shù)具有下列形式： 式中 稱為 Newton插值基函數(shù) 。 ( )nini nifxf x x xx?? ?? ?00, , , , , , , , , , ,i j nj i nf x x x xf x x x x?? ???????01( 3 ) ( ) [ , ], , , [ , ] ,[ , ] ,nf x a b nx x x a bab???設(shè) 在 上 有 階 導(dǎo) 數(shù) , 且 則 存 在 使 下 式 成 立 。 插值余項(xiàng)問題： 定理：設(shè)? ?nNx是 n 次 Newton 插值多項(xiàng)式，則 ? ? ? ? ? ?0 1 1, , ,n n nR x f x x x x x??? 證明：表達(dá)式? ? ? ? ? ?0 1 1, , ,n n nR x f x x x x x? ?? 在? ?, 0 ,1 , 2 , ,ix x i n??處是顯然成立的。 差分定義 設(shè)等距結(jié)點(diǎn)0ix x ih??，? ?0 ,1 , ,in?其中h 是 常 數(shù) , 稱 為 步 長 。 規(guī)定 0iiyy ??為零階差分。 E ：步長為 h 的位移算子 ? ? ? ?E f x f x h?? I ：單位算子 ? ? ? ?I f x f x? 容易證明上述五種算子均為線性算子。 根據(jù) Ne wton 差商插值多項(xiàng)式，當(dāng)結(jié)點(diǎn)等距時(shí)，利用上述性質(zhì) 2 可直接得到 Ne wt on 差分插值多項(xiàng)式。插值法是我們找到的一個(gè)最簡單的方法 . 因?yàn)橛?f(x)的代數(shù)插值 函數(shù) p(x)來代替它， 提醒我們用 p(x) 的導(dǎo) 數(shù) 來代替 f(x)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算 。 x x 0 x 1 …… x ny y0 y1 …… yny39。 n f(x) 是區(qū)間 [ a, b] 上 n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)a=x0x1x2……x n=b ， 定義在 [a,b]上的函數(shù) f(x) 在節(jié)點(diǎn)上滿足 f(xi) = yi f’(xi)=y 39。因?yàn)? H(x)是一個(gè)次數(shù)不高于 2n+1次的多項(xiàng)式，常記為H2n+1(x). 定理一 :滿足插值條件 H(xi)= yi H39。(xi)=q39。由于 p(x),q(x)都是次數(shù)不高于 2n+1的多項(xiàng)式 ,由代數(shù)基本定理知 F(x )=p(x)q(x)?0,所以有 p(x) ? q(x) ,多項(xiàng)式唯一。i i=0 i=0 Li(x)， hi(x)都是不高于 2n+1次的 多項(xiàng)式，類似Lagrange插值，利用 Hermite插值條件可得： Li(xj)=?ij hi(xj) = 0 L39。(1) =1/2 解 : 設(shè) H3(x)=Y0l0(x)+y1l 1(x) +