【正文】 其中 是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問(wèn)題的解存在且唯一的條件 . ， 2211 )()( yxPyxP =?=? 21020 yyyxx 、 ??解 ：設(shè) 則 由已知條件有 ，cbxaxxP ??= 2)( .2)( baxxP ?=???????=?=??=??11222200202 ybaxycbxaxycbxax0012111222020?xxxxx0)()(2 2220201 ? xxxxx )0(2 20201 ??? xxxxx ?即 所以 故原問(wèn)題的唯一可解性就歸結(jié)為上述方程組的唯一可解性而后者唯一可解的充要條件為 這就是 P（ x）存在且唯一的條件。 li(x) 每個(gè) li 有 n 個(gè)根 x0 … xi … xn ? = = = n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? = = j ? i j i i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( ?=? = njij jiji xxxxxl0)()()(?== niiin yxlxL0)()( 拉格朗日 多項(xiàng)式 與 有關(guān)，而與 無(wú)關(guān) 節(jié)點(diǎn) f 拉格朗日插值公式 Lagrange插值 公式 (利用 插值基函數(shù) 很容易得到 ): 含義直觀 ,結(jié)構(gòu)緊湊 ,在理論分析中非常方便 。 為克服上述兩個(gè)缺點(diǎn) , 努力：把插值多項(xiàng)式變形為 便于計(jì)算 的形式。我們可以有具有“ 承襲性 ”的所謂牛頓公式。 返回 n次多項(xiàng)式 p在 x處的值。 如輸入程序 Y = poly (3)；則返回 1 3，即其特征多項(xiàng)式為 x3 如 對(duì)多項(xiàng)式 ， 計(jì)算在 x=5,7,9的值。V39。V39。 x=[5,7,9]。y=poly2sym(c) ；則返回 y =x3 如輸入程序 c=[1 3]。y=poly2sym(c,sym(’s’) )； 則返回 y =s3 (四 ) CONV 函數(shù) 調(diào)用格式 ： C =conv (A, B) 返回兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的多項(xiàng)式系數(shù)，即卷積和 如輸入程序 A=[1 3]。C=conv(A,B) 則返回 C = 1 5 6 A、 B為兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù) (五 ) DECONV 函數(shù) 調(diào)用格式 ： [Q,R] =deconv (B,A) conv函數(shù)的逆函數(shù)，返回兩個(gè)多項(xiàng)式相除的多項(xiàng)式系數(shù)及其余數(shù)，即反卷積和 若輸入程序 C=[1 5 7]。[B,R]=deconv(C,A) 則輸出 B = 1 2 R =0 0 1 如輸入程序 C=[1 5 6]。[B,R]=deconv(C,A) 則輸出 B = 1 2 R =0 0 0 (六 ) roots(poly(1:n))命令 調(diào)用格式： roots(poly(1:n)) (七 ) det(a*eye(size (A)) A)命令 調(diào)用格式： b=det(a*eye(size (A)) A) 如輸入程序 C=[1 3 2]。 解 ：輸入程序 X=[1,3]。 l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2) X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=。R1=M*abs((xX(1))* (xX(2)))/2 運(yùn)行后輸出誤差限為 R1 = 例 *12求函數(shù) f(x)=ex在 [0,1]上線性插值多項(xiàng)式，并估計(jì)其誤差 . 解： 輸入程序 X=[0,1]。x=0::1。 Y =cos(X) , l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2) X(1)), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=pi/6。x=pi/6。 Y =cos(X) , l01= conv (poly(X(2)),poly(X(3)))/(( X(1) X(2))* ( X(1) X(3))), l11= conv (poly(X(1)), poly(X(3)))/(( X(2) X(1))* ( X(2) X(3))), l21= conv (poly(X(1)), poly(X(2)))/(( X(3) X(1))* ( X(3) X(2))), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), l2=poly2sym (l21), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3), L=poly2sym (P),x=pi/6。x=pi/6。 解 ：輸入程序 X=[2,0,1,2]。 p1=poly(X(1))。 p3=poly(X(3))。 l01= conv ( conv (p2, p3), p4)/(( X(1) X(2))* ( X(1) X(3)) * ( X(1) X(4))), l11= conv ( conv (p1, p3), p4)/(( X(2) X(1))* ( X(2) X(3)) * ( X(2) X(4))), l21= conv ( conv (p1, p2), p4)/(( X(3) X(1))* ( X(3) X(2)) * ( X(3) X(4))), l31= conv ( conv (p1, p2), p3)/(( X(4) X(1))* ( X(4) X(2)) * ( X(4) X(3))), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21), l3=poly2sym (l31), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3) + l31* Y(4), 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0， l1， l2和 l3及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P為 l0 =1/24*x^3+1/8*x^21/12*x， l1 =1/4*x^31/4*x^2x+1 l2 =1/3*x^3+4/3*x， l3 =1/8*x^3+1/8*x^21/4*x P = 1 4 4 1 輸入程序 L=poly2sym (P),x=。 x=。 L=ones(m,m)。 for i=1:m if k~=i V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)X(i))。 l(k,:)=poly2sym (V) end C=Y*L1。 例 *15給出節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) f()=， f()= ，f()=， f()= ， f()=， f()=，作五次拉格朗日插值多項(xiàng)式和基函數(shù)，并寫(xiě)出估計(jì)其誤差的公式。 Y=[ ]。 m=length(x)。s=。 q1=。 for j=1:n if j~=k p=p*(zX(j))/(X(k)X(j))。c1=c1*j。 end y(i)=s。 return 例 *16已知 sin30 176。 =， sin60 176。 的近似值，并估計(jì)其誤差。 M=1。 Y=[,]。 )= … ) ( ) ( 0 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x P ? = ) ( 0 0 1 0 1 0 x x x x x x y ? = ( ( ) ) f f f[x0,x1] 二次牛頓插值多項(xiàng)式 我們?cè)倏?線性插值 的 點(diǎn)斜式 : ) ( 0 0 x x y ? = f[x0,x1] 常數(shù) (差商 ) 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類(lèi)似地有有規(guī)律的組合表達(dá)式 : P2(x)=?0 + ?1(xx0) + ?2(xx0)(xx1) 利用 P2(x0)=y0有 : ?0 = y0 , 利用 P2(x1)=y1有 : ?1 = 0 1 0 1 x x x x ( ( ) ) f f = f[x0,x1] , 利用 P2(x2)=y2有 : ?2 = f[x0,x1] (x2x0)(x2x1) (x2x0)(x2x1) 0 x x2 ( ( ) ) f f (x2x0) f[x0,x2] f[x0,x1] x2 x1 = = f[x0,x1,x2] 。 2. 它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線性組合 : P2(x)=f(x0) + (xx0) + (xx0)(xx1) f[x0,x1] f[x0,x1,x2] f[x0,x1] , f[x0,x1,x2] f(x0), 1 , (xx0) , (xx0)(xx1) 即函數(shù) 的線性組合 ,組合系數(shù)為 本質(zhì)上還是 基函數(shù)法 . 更一般地， n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，我們希望由上述類(lèi)似的一組特殊函數(shù)： 來(lái)線性組合為： 1 , (xx0) , (xx0)(xx1) ， …… ， (xx0)(xx1)…( xxn) )) . .. ((. ..))(()()( 10102021 ????= nnn xxxxaxxxxaxxaaxN那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？ 我們同樣可用待定系數(shù)法 . 容易發(fā)現(xiàn) , 計(jì)算 a0, a1, a2 ,…, an 是很有規(guī)律的 . 一、均差及其性質(zhì) 167。 k 階均差可表示為函數(shù)值 f(x0), f(x1),…, f(xk)的線性組合 , 即 f[x0,x1,…,x k]= f(xj) (xjxj+1)… (xjxk) …( xjxj1) (xjx0) ∑ k j=0 這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明 . 這個(gè)性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān) ,稱(chēng)為均差的對(duì)稱(chēng)性 ,即 f[x0,x1,…,x k]= f[x1,x0,x2,…,x k]=… = f[x1, …, x k ,x0] f[x0, x1,…,x k] = f(n)(ξ) n! ],[ ba?? 3186。 由性質(zhì) 1186。近似計(jì)算時(shí)，牛頓插值法計(jì)算量小，當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí)只需增加一項(xiàng)，因而比較方便。 已知函數(shù) y=f(x)的數(shù)據(jù)如下表 i 0 1 2 3 xi 0 1 2 3 yi=f(xi) 1 3 9 27 試作一個(gè)三次插值多項(xiàng)式 P3(x)計(jì)算 3解： 利用牛頓插值公式可得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?21032101021001003,xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN???=為此先作差商表如下 k xk f(xk) 差商 0 0 1 1 1 3 2 2 2 9 6 2 3 3 27 18 6 4/3 ? ?1, ?kk xxf ? ?21 , ?? kkk xxxf ? ?321 , ??? kkkk xxxxf故 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?138234384342221213412212323233??=????=???==xxxxxxxxxxxxxxxxNxP由差商表知， ? ? xxf 3= 2133 =而 故令 21=x即得 21213821221