【正文】 困難；②近似區(qū)間小 ,在大的區(qū)間上不可行． 第二章 插值與擬合 情形２ 在區(qū)間［ a,b］上考慮 函數(shù) f(x)的近似． y=f(x) a b 求解： y = f (x) 在 [ a , b ]上的近似曲線？ 第二章 插值與擬合 利用函數(shù) f(x)在 區(qū)間 [a, b]上 一系列點的值 yi= f(xi)（可通過觀察、測量、試驗等方法得到） y=f(x) x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn 插 值 法 解決思路 第二章 插值與擬合 根據(jù) f (x)在 n+1個已知點的值，求一個足夠光滑又比較簡單的函數(shù) p(x)，作為 f (x)的近似表達式， x0 x1 x2 x3 x4 x f(x) p(x) 曲線 P ( x) 近似 f ( x) 第二章 插值與擬合 從代數(shù)上看，看 p(x)滿足以下代數(shù)條件 p(xi) = yi i = 0, 1, 2, ?, n 這就是所謂的插值． 然后計算 p(x)在 [a,b] 上其它點 x 處的函數(shù)值作為原來函數(shù) f (x)在此點函數(shù)值的近似值。 設(shè)函數(shù) f (x) 在 [a , b]上有定義，且已知在 a ≤ x0 x1 成立 ,則稱 p( x ) 為 f (x) 的 插值函數(shù) 。但這樣做不但計算復(fù)雜， 而且難于得到 pn(x)的簡單表達式。 范德蒙行列式 a0, a1, a2, ? , an 存在唯一 p(xi) = yi i = 0, 1, 2, ?, n Hn 中有且僅有一個 pn( x ) 滿足插值條件 ()式。 n+1個節(jié)點互異 第二章 插值與擬合 為求得便于使用的簡單插值多項式 p(x)，我們先討論n=1的情形。假 定 插 值 節(jié) 點 為 要 求 二 次 插 值 多 項 式 它 滿 足（ 幾 何 上 就 是 通 過 三 點（ 的 拋 物 線 。 n次 Lagrange 插值多項式 求通過 n +1個節(jié)點的 n 次插值多項式 Ln(x)： 先求插值基函數(shù) 然后構(gòu)造插值多項式 設(shè) Ln(x)= 滿足插值條件： L n ( xj ) = y j , j = 0, 1, ?, n 定義 若 n 次多項式 lk ( x ) (k = 0,1,?,n ) 在各節(jié)點 ??????,0。 0 0 1 1( ) ( ) ( )nny l x y l x y l x? ? ?第二章 插值與擬合 先求 插值基函數(shù) )()()()()()()()()(110110nkkkkkknkkk xxxxxxxxxxxxxxxxxl?????????????????， k = 0, 1 ,?, n . ,)()()()()( 110 nkkk xxxxxxxxAxl ????? ?? ??令k = 0, 1 ,?, n . )()()()(1110 nkkkkkk xxxxxxxxA ??????? ??得,1)( ?kk xl由1 1100( ) ( ) ( )yyL x l x l x??L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1(x) + y2 l2(x) （類似于前面討論 n =1, 2 時的情形） () 第二章 插值與擬合 再構(gòu)造 插值多項式 （ Ln(x)是 n+1個插值基函數(shù)的線性組合） ???nkkkn xlxfxL0)()(( ）定理 （ Lagrange） 插值多項式 ,),(),...,1,0())(,()( jixxnixfxxfy jiii ???? 當函數(shù)表設(shè)的插值多項式為，則滿足插值條件 )...1,0()()( nixfxL iin ?????nkkkn xlxfxL0)()(( ）),...1,0()(0nkxx xxxlnkjj jkjk ?? ?????其中通常次數(shù) =n , 但特殊情形次數(shù)可 n , 如：過三點的二次插值多項式 共線時 () 第二章 插值與擬合 顯然，如此構(gòu)造的 L(x) 是不超過 n次多項式。當 n=2時，稱為拋物線插值。就是一條直線而不是拋（式的二次插值多項。特殊情況下一般應(yīng)為次數(shù)為次插值多項式注：)),(),(),)(2221100xLyxyxyxnnxLn n第二章 插值與擬合 設(shè) 為插值節(jié)點， n次多項式 滿足條件 由此可得 nxxx ??? ?10 ()klx稱為 lagrange插值基函數(shù) 。1()( ) ( )nk n kxx x x????? ?容易求得 () 1 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k k k k k k k k nx x x x x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?10 1()( ) ( )( ) ( )nnn n kk k n kxL x L x yx x x???? ?? ???從 而 可 改 寫 成 ：0( ) , 0 , 1 , , ,niki kiikxxl x k nxx???????第二章 插值與擬合 x0x1 xi xi+1 xn1 xn y=f(x) y=p(x) a b 在插值區(qū)間 ?a, b?上用 插值多項式 p(x)近似代替 f(x), 除了在插值節(jié)點 xi上沒有誤差外，在其它點上一般是存在誤差的。 )()1( xf n?② ? 在 ( a , b ) 內(nèi)的具體位置通常不能給出，因此R(x)不能準確地計算出來，只能估計它的值． ③ 若有 ,則 截斷誤差限 是 1)1( )(m a x ???? ? nnbxa Mxf .)(!)1()( 11 xnMxR nnn ???? ?],[|)(||)(| 11 baxnxMxR nnn ??? 和有關(guān)，因此在和的大小與從而 ?④ n次插值多項式對次數(shù)不高于 n次的多項式完全精確。個插值節(jié)點的選擇應(yīng)使給定的情況下， |)(|1 1 xn n ?? ?則 f(n+1)(ξ) =0, ),(!)1( )()()()( 1)1( xnfxLxfxR nnnn ?????? ??第二章 插值與擬合 y 0 x )(xf)(1 xLxk xk+1 0P1P111( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( , ) ( 4 ) 2! k kR x f x L xfx x x x a b???????? ? ? ?余 項 為0 1 111, ( ) ( ) ,( ) ( ) [ , ]kkP P L x f xf x L x x x x ???用 通 過 兩 點 的 直 線 來 代 替 即 ① 線性插值： 特別地， n = 1, 2 時的插值余項 ： 第二章 插值與擬合 y 0