【正文】 數(shù) 值 分 析 Numerical Analysis 主講教師：牛曉穎 河北大學(xué)質(zhì)監(jiān)學(xué)院 描述事物之間的數(shù)量關(guān)系：函數(shù)。 有兩種情況： 一是 表格 形式 —— 一組 離散的數(shù)據(jù) 來表示函數(shù)關(guān)系；另一種是函數(shù)雖然 有明顯的 表達(dá)式 ，但很復(fù)雜 ，不便于研究和使用。 從實(shí)際需要出發(fā)：對于計(jì)算結(jié)果允許有一定的誤差，可以把函數(shù)關(guān)系用一個(gè)簡單的便于計(jì)算和處理的 近似表達(dá)式 來代替，從而使問題得到簡化。 一般地，構(gòu)造某種簡單函數(shù)代替原來函數(shù)。 167。 0 引言 第二章 插值 （ Interpolation） 法 插值法就是一種基本方法 當(dāng)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn) x0 … xn 處測得函數(shù)值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡單易算的近似函數(shù) g(x) ? f(x)，滿足條件 g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。這里的 g(x) 稱為 f(x) 的 插值函數(shù) 。 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) 根據(jù)實(shí)際需要，可以用各種不同的函數(shù)來近似原來的函數(shù)。 最常用的插值函數(shù)是 …? 多項(xiàng)式： 代數(shù)多項(xiàng)式最簡單，計(jì)算其值只需用到加、減乘運(yùn)算，且積分和微分都很方便； 所以常用它來近似表示表格函數(shù) (或復(fù)雜函數(shù) ),這樣的插值方法叫做 代數(shù)插值法 ，簡稱插值法。 167。 1 拉格朗日多項(xiàng)式 n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( = = 求 n 次多項(xiàng)式 使得 nnn xaxaaxP ???= ?10)(條件： 無重合節(jié)點(diǎn)，即 ji xx ?ji ?n = 1 已知 x0 , x1 。 y0 , y1 ，求 xaaxP 101 )( ?= 使得 1 1 1 0 0 1 ) ( , ) ( y x P y x P = = 可見 P1(x) 是過 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 兩點(diǎn)的直線。 ) ( 1 x P 1 0 1 x x x x 0 1 0 x x x x = y0 + y1 兩點(diǎn)式 ) ( ) ( 0 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x P ? = 點(diǎn)斜式 ) ( 0 0 1 0 1 0 x x x x x x y ? = ( ( ) ) f f 二次插值 n = 2 已知 x0 , x1 , x2。 y0 , y1 ,y2 , 求 22102 )( xaxaaxP ??=使得 0 0 2 , ) ( y x P 1 1 2 ) ( y x P = = 2 2 2 ) ( y x P = , 為求 P2(x),將三點(diǎn)代入其表達(dá)式 ,即可得到三個(gè)方程式 ,從而聯(lián)立方程組解出系數(shù) a0, a1, a2即可 : 2020210 xaxaay ??=2121101 xaxaay ??=2222102 xaxaay ??=方程組的 解是否存在 ? 若存在解 ,是否唯一 ?! 當(dāng) x0 , x1 , x2互異時(shí) ,方程組的解存在且唯一 . 注： 顯然有 , 求 n 次插值時(shí) , 由 n +1個(gè)點(diǎn)可有 n +1個(gè)方程 , 聯(lián)立方程組即可求出插值多項(xiàng)式的 n +1個(gè)系數(shù) . 然而 ,方程組的求解也并不是一件容易的事 。 待定系數(shù)法 對于線性插值的 兩種形式 解 進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?, 從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā) ,就有了所謂的 拉格朗日插值法 (公式 )和 牛頓插值 (公式 ). 我們先來看看如何得到 二次 拉格朗日插值公式。 首先 , 線性插值的兩點(diǎn)式 可看作是兩個(gè)特殊的一次式的一種線性組合 . 1 0 1 x x x x 0 1 0 x x x x ) ( 1 x P = y0 + y1 ? = = 1 0 ) ( i i i y x l 兩點(diǎn)式 l0(x) l1(x) 實(shí)質(zhì)上 0l（ x ）和 1l（ x ）即是滿足函數(shù)表 x 0x 1x x 0x 1x y 1 0 y 0 1 的一次插值多項(xiàng)式 ,稱 l0(x)和 l1(x)為以 x0,x1為節(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式，也稱為 線性插值的 插值基函數(shù) 。 于是，線性插值即是用 基函數(shù)的線性組合 來構(gòu)造的 . 基函數(shù)法 稱為 拉氏基函數(shù) ，滿足 li(xj)=?ij 顯然有 l0(x)+ l1(x)≡1. 這里， l0(x)和 l1(x)具有如下性質(zhì)： l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1, ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ,1,0,0,0,1,0,0,0,1221202211101202100=========xlxlxlxlxlxlxlxlxl 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基函數(shù)來線性組合 : 這時(shí)， l0(x), l1(x), l2(x)都是二次多項(xiàng)式，且應(yīng)滿足 滿足 ()式的 l i(x) 是否存在 ?若存在，具有什么形式呢 ? （ ） ? ? ? ? ? ? ? ? 2211002 yxlyxlyxlxp ??=同理可得 l1(x)＝ ?1(x － x0)(x － x2), l2(x)＝ ?2(x － x0)(x － x1), ?1＝ (x1－ x0)(x1－ x2) 1 ?2＝ (x2－ x0)(x2－ x1) 1 此即 二次 拉格朗日插值公式 , 其中 , l0(x), l1(x), l2(x)是滿足()的特殊 (基本 )二次插值多項(xiàng)式 。稱為 二次插值基函數(shù) . P2(x)= y0+ y1+ y2 (x x0)(x x2) (x1x0)(x1x2) (x x1)(x x2) (x0x1)(x0x2) (x x0)(x x1) (x2x0)(x2x1) 先考慮 l0(x)。因 l0(x)是以 x1, x2 為零點(diǎn)的二次多項(xiàng)式 ,所以它可寫成 l0(x)＝ ?0(x － x1)(x － x2), 其中 ?0 是待定系數(shù)。 又因?yàn)? l0( x0)=1，所以 ?0(x0－ x1)(x0－ x2)＝ 1，則可有 ?0＝ (x0－ x1)(x0－ x2) 1 l0(x)＝ ?0(x － x1)(x － x2), n ? 1 希望找到 li(x)， i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ；然后令 ? = = n i i i n y x l x P 0 ) ( ) ( ，則顯然有 Pn(xi) = yi 。 li(x) 每個(gè) li 有 n 個(gè)根 x0 … xi … xn ? = = = n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? = = j ? i j i i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( ?=? = njij jiji xxxxxl0)()()(?== niiin yxlxL0)()( 拉格朗日 多項(xiàng)式 與 有關(guān)，而與 無關(guān) 節(jié)點(diǎn) f n 次插值 定理 (唯一性 ) 滿足 的 n 階插值 多項(xiàng)式是唯一存在的。 niyxP ii ,. ..,0,)( ==證明： ( 存在性 可利用 Vandermonde 行列式 論證 ) 反證：若不唯一，則除了 Ln(x) 外還有另一 n 階多項(xiàng)式 Pn(x) 滿足 Pn(xi) = yi 。 考察 則 Qn 的階數(shù) ,)()()( xLxPxQnnn =? n 而 Qn 有 個(gè)不同的根 n + 1 x0 … xn 注： 若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，則插值多項(xiàng)式 不唯一 。 例如 也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中 可以是任意多項(xiàng)式。 ?=?= niin xxxpxLxP0)()()()()(xp?== niiin yxlxL0)()(設(shè)節(jié)點(diǎn) )1( ?nf 在 [a , b]內(nèi)存在 , 考察截?cái)嗾`差 )()()( xLxfxR nn =],[ baCf n?bxxxan ????? ?10，且 f 滿足條件 , Rolle’s Theorem: 若 充分光滑， ，則 存在 使得 。 )(x? 0)()( 10 == xx ??),( 10 xx?? 0)( =? ??推廣： 若 0)()()(210 === xxx ??? ),(),( 211100 xxxx ?? ??使得 0)()(10 =?=? ???? ),( 10 ??? ?使得 0)( =?? ??0)()( 0 === nxx ?? ?存在 ),( ba?? 使得 0)()( =?? nRn(x) 至少有 個(gè)根 n+1 ? = = n i i n x x x K x R 0 ) ( ) ( ) ( 任意固定 x ? xi (i = 0, …, n), 考察 ? = = n i i x t x K t Rn t 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ? ?(t)有 n+2 個(gè)不同的根 x0 … xn x ),(,0)()1( baxxn ?=? ???! ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ? ? n x K R x n n ? 注意這里是對 t 求導(dǎo) = ? ? ? ! ) 1 )( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( n x K L f x n n x n ? ? ! ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ? = ? n f x K x n ? ?=??=niixnn xxnfxR0)1()(!)1( )()( ? 插值余項(xiàng) (Remainder) ? 注： ? 通常不能確定 ?x , 而是估計(jì) , ?x?(a,b) 將 作為誤差估計(jì)上限。 1)1( )( ?? ? nn Mxf?=? ? niin xxnM01 ||)!1(?當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式 時(shí)， , 可知 ，即插值多項(xiàng)式對于次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式是 精確 的。 0)()1( ?? xf n0)( ?xR n.)( 應(yīng)用的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能余項(xiàng)表達(dá)式只有在 xf],[))()(()(61)(2],[))(()(21)()(21)(1202102101021xxxxxxxxfxRnxxxxxxfxfxRn????==???=??==??????，時(shí)，拋物插值的余項(xiàng)為當(dāng)，時(shí)，線性插值余項(xiàng)為當(dāng)例 1 求經(jīng)過 A(0,1)， B(1,2)， C(2,3)三個(gè)插值點(diǎn)的插值多項(xiàng)式 . 解： 三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對應(yīng)的函數(shù)值為 .322110 221100 ====== yxyxyx ，；，；，13)12)(02()1)(0(2