【正文】 x=。 解： 輸入程序 syms M,X=[4,0,1,2]。L(k,:)=poly2sym(C)。 end y(k)= polyval(C, z)。 d=length(C)。q1=abs(q1*(zX(n)))。c1=c1*j。 for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j1) A(i1,j1))/(X(i)X(ij+1))。 q1=。 s=。 A=zeros(n,n)。 m=length(x)。 三、 牛頓插值法的 MATLAB綜合程序 輸入?yún)?shù)： n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) (xi,yi)(i=1,2,…, n+1)的橫坐標(biāo)向量 X和縱坐標(biāo)向量 Y， x是以向量形式輸入的 m個(gè)插值點(diǎn)， M在 [a,b]上滿足 輸出參數(shù)： 向量 x的插值向量 y及其誤差限 R， n次牛頓插值多項(xiàng)式 L及其系數(shù)向量 C， 差商的矩陣 A 將程序保存為 M文件，保存到 MATLAB工作目錄下即可使用函數(shù)。 M=1。 X=[pi/6 ,pi/4, pi/3]。 Y=[,]。M=1。 的近似值，估計(jì)其誤差，并與例 *16的計(jì)算結(jié)果比較。 =， sin60 176。 return 例 *23已知 sin30 176。 end y(k)= polyval(C, z)。d=length(C)。q1=abs(q1*(zX(n)))。c1=c1*j。 for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j1) A(i1,j1))/(X(i)X(ij+1))。 q1=。 s=。 A=zeros(n,n)。 m=length(x)。 y=9721799720875/1152921504606846976*x^53503994098647815/9223372036854775808*x^4+160742021798419/18014398509481984*x^31251152213853501/9007199254740992*x^2+6298131904328647/4503599627370496*x3940156929554013/562949953421312 wcgs2=1/720*M*(x^624*x^5+1172/5*x^45952/5*x^3+7276634802928539/2199023255552*x^25237461186650519/1099511627776*x+6085939356447121/2199023255552) 運(yùn)行后輸出 的近似值 y，及其誤差限 wcgs2如下 y = wcgs2 = 二、 牛頓插值及其誤差估計(jì)的 MATLAB程序 輸入?yún)?shù)： n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) (xi,yi)(i=1,2,…, n+1)的橫坐標(biāo)向量 X和縱坐標(biāo)向量 Y， x是以向量形式輸入的 m個(gè)插值點(diǎn)， M在 [a,b]上滿足 輸出參數(shù)： 向量 x的插值向量 y及其誤差限 R 將程序保存為 M文件，保存到 MATLAB工作目錄下即可使用函數(shù)。 [A,C,L,wcgs,Cw]= newpoly(X,Y), x1=2::6。 ? ? 57 xexf =解： 輸入程序 X=2:4/5:6。 Y=[ ]。 return 例 *21給出節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) f()=， f()= ，f()=， f()= ， f()=， f()=五階牛頓插值多項(xiàng)式和差商，并寫(xiě)出估計(jì)誤差的公式。 syms M wcgs=M*Q/c1。 end L(k,:)=poly2sym(C)。 d=length(C)。 q1=conv(q1,b)。 end C=A(n,n)。 c1=c1*j。 end b=poly(X(j1))。 c1=。 p=。 A(:,1)=Y39。 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?iniininn xxfxR11111 m a x,min ??????? ??? 其中求牛頓插值多項(xiàng)式和差商的 MATLAB主程序如下： function [A,C,L,wcgs,Cw]= newpoly(X,Y) n=length(X)。作為基礎(chǔ)，首先介紹與牛頓插值有關(guān)的差商等計(jì)算的實(shí)現(xiàn)程序。 *2 牛頓插值的 Matlab實(shí)現(xiàn) 拉格朗日插值的優(yōu)點(diǎn)是格式整齊和規(guī)范，有誤差估計(jì)公式，它的缺點(diǎn)是沒(méi)有承襲性，當(dāng)需要增加節(jié)點(diǎn)時(shí)，必須重新計(jì)算插值的基函數(shù)。相對(duì)之下，拉格朗日插值法沒(méi)有上述優(yōu)點(diǎn)，但它在理論證明上因其插值基函數(shù)的許多特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用?？傻?: ],[)()()( 000 xxfxxxfxf ?=],[)(],[],[ 101100 xxxfxxxxfxxf ?=],. ..,[)(],. ..,[],. ..,[ 0010 nnnn xxxfxxxxfxxxf ?=)) . .. ((. ..))(()()( 10102021 ????= nnn xxxxaxxxxaxxaaxN1 2 … … … … n1 依次將后一式代入前一式 .. .))(](,[)](,[)()( 102100100 ???= xxxxxxxfxxxxfxfxf)) .. .(](,.. .,[ 100 ? nn xxxxxxf))() . .. (](,. ..,[ 100 nnn xxxxxxxxxf ? Nn(x) Rn(x) ai = f [ x0, …, xi ] 二、牛頓插值公式 ))() . .. (](,. ..,[ 100 nnn xxxxxxxxxf = Rn(x) . ..))(](,[)](,[)( 102100100 ???= xxxxxxxfxxxxfxf)) .. .(](,.. .,[ 100 ? nn xxxxxxfNn(x) ωn+1(x) )10(][ 0 nkxxfa kk ， ?? == 多項(xiàng)式 Nn(x)顯然滿足插值條件 ,即 Nn(xj)=f(xj),(j=1,…, n),且次數(shù)不超過(guò) n,由唯一性定理它就是前述的 Ln(x),其系數(shù)為 Nn(x)稱為牛頓均差插值多項(xiàng)式 ,它比拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算量省 ,且便于程序設(shè)計(jì) . 注： ? 由 唯一性可知 Nn(x) ? Ln(x)， 只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即 )(!)1( )()(],...,[ 1)1(10 xnfxxxxfnxnnn ??? ?= ???),(,! )(],...,[ m a xm i n)(0 xxkfxxf kk ?= ??? 實(shí)際計(jì)算過(guò)程為 f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn1) f (xn) f [x0, x1] f [x1, x2] … … … … f [xn1, xn] f [x0, x1 , x2] … … … … f [xn2, xn1, xn] f [x0, … , xn] f (xn+1) f [xn, xn+1] f [xn1, xn, xn+1] f [x1, … , xn+1] f [x0, … , xn+1] 均差計(jì)算可列均差表如下： ?????,2,1 ,1,0 ],[],[],[ 11??=== ?iikixxxxfxxfxxfikkikiki 例 1 依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過(guò) 3次的拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式 Nn(x),并驗(yàn)證插值多項(xiàng)式的唯一性 . 解 : (1)拉格朗日插值多項(xiàng)式 Ln(x). 插值基函數(shù) xk 0 1 2 4 f (xk) 1 9 23 3 拉格朗日插值多項(xiàng)式為 : 121445411 )(3)(23)(9)()()(233210303??=???== ?=xxxxlxlxlxlyxlxLiii,12181241)24)(14)(04()2)(1)(0()(,4541)42)(12)(02()4)(1)(0()(,38231)41)(21)(01()4)(2)(0()(,1478781)40)(20)(10()4)(2)(1()(233232231230xxxxxxxlxxxxxxxlxxxxxxxlxxxxxxxl?==?====??==xk f (xk) 一階均差 二階均差 三階均差 0 1 1 9 8 2 23 14 3 4 3 10 8 (2) 牛頓插值多項(xiàng)式 Nn(x). 建立如下差商表 牛頓插值多項(xiàng)式為 : 121445411 )2)(1)(0(411)1)(0(3)0(81)(233??=??=xxxxxxxxxxN411(3) 唯一性驗(yàn)證 . 通過(guò)比較牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式 ,知 : Nn(x) = Ln(x) 這一事實(shí)與插值多項(xiàng)式的唯一性一致 . 例 2 注意：當(dāng)題目中沒(méi)有指明用哪一種方法建立插值多項(xiàng)式時(shí)，原則上拉格朗日和牛頓插值法都可行。 若 f(x)在 [a,b]上存在 n階導(dǎo)數(shù) , 且節(jié)點(diǎn) x0,x1,…, xn [a,b],則n階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下 : ?這個(gè)公式可直接用羅爾定理證明 . ， 0][!)()( 0)()( == nnn xxfnfq ???.! )(][ )(0 nfxxf nn ?=， ?所以 ，使記為個(gè)零點(diǎn)內(nèi)至少有在理，可知零點(diǎn)；反復(fù)應(yīng)用羅爾定個(gè)內(nèi)至少有在個(gè)零點(diǎn)，故的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一在，個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理上有在處均為零，所以，在，證明：設(shè)],[ , 1 ],[)(],[)()()(1],[)()( ),())(]([)( )(0100babaxqnbaxqxqxqnbaxqxxxqxxxxxxxxxfxqnnnn????=???? f[x0,x1,…,x k]= f[x1,…, x k1,xk] f[x0,x1, …, xk1] xkx0 2186。 2 牛頓插值 當(dāng) x=x0時(shí)， Pn(x0)=a0=f0. 當(dāng) x=x1時(shí)， Pn(x1)=a0+a1(x1x0)=f1, 推得 a1= f1f0 x1x0 當(dāng) x=x2時(shí)， Pn(x2)=a0+a1(x2x0)+a2(x2x0)(x2x1)= f2,推得 f2f0 x2x0 f1f0 x1x0 a2= x2x1 依次遞推可得到 a3, …, an. 為寫(xiě)出系數(shù) ak的一般表達(dá)式 ,先引進(jìn)如下均差定義 . 定義 2 稱 為函數(shù) f(x)關(guān)于點(diǎn) x0,xk的一階均差 .稱 為 f(x) 的 二階均差 .一般地 , 稱 為 f(x) 的 k 階均差 (差商 ). f[x0,xk] = f(xk)f(x0) xkx0 f[x0,x1,xk]= f[x0,xk] f[x0,x1] xkx1 f[x0,x1,…,x k]= f[x0,…, x k2,xk] f[x0,x1, …, xk1] xkxk1 均差有如下的基本性質(zhì) : 1186。 P2(x)=f(x0) + (xx0) + (xx0)(xx1) f[x0,x1] f[x0,x1,x2] x=x0時(shí) 0 注 : 1. 事實(shí)上 ,從上述可看出二次牛頓插值公式是用 待定系數(shù)法 求得的 。 [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M) 運(yùn)行后輸出插值 y及其誤差限 R為 y =