【正文】 )21)(01()2)(0(1)20)(10()2)(1())(())(())(())(())(())(()(2120210121012002021212?=?????=??=xxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL由拋物插值公式得 例 2： 已知 233s i n,214s i n,216s i n ===???分別利用 sin x 的 1次、 2次 Lagrange 插值計算 sin 50? 并估計誤差。 解： 0x 1x 2x185500 ?=n = 1 分別利用 x0, x1 以及 x1, x2 計算 4,6 10?? == xx?利用 216/4/ 6/214/6/ 4/)(1 ???= ?? ??? ? xxxL這里 )3,6(,s i n)(,s i n)( )2( ????? ?== xxxfxxf而 )4)(6(!2 )()(,2 3s i n21 )2(1 ???? =?? xxfxR xx)185( 1 ?? ?R ?sin 50? = … ) 18 5 ( 50 sin 1 0 ? ? ? L 外推 (extrapolation ) 的實際誤差 ? 3,4 21 ?? == xx?利用 sin 50? ? , 185~ 1 ???????? ?R內插 (interpolation ) 的實際誤差 ? 內插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的 x 所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。 n = 2 23))(())((21))(())((21))(())(()(4363463464363646342 ? ?? ?? =?????????????????? xxxxxxxL) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? ? L 2 3c os21。)3)(4)(6(!3c os)(2 ??=xx xxxxR ????? 2 ???????? ?R ?sin 50? = … 2次插值的實際誤差 ? 高次插值通常優(yōu)于低次插值 ,但絕對不是次數(shù)越高就越好 例 3 考慮下述的插值法問題：求二次多項式 P(x)，滿足P(x0) = y0, 其中 是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問題的解存在且唯一的條件 . ， 2211 )()( yxPyxP =?=? 21020 yyyxx 、 ??解 ：設 則 由已知條件有 ，cbxaxxP ??= 2)( .2)( baxxP ?=???????=?=??=??11222200202 ybaxycbxaxycbxax0012111222020?xxxxx0)()(2 2220201 ? xxxxx )0(2 20201 ??? xxxxx ?即 所以 故原問題的唯一可解性就歸結為上述方程組的唯一可解性而后者唯一可解的充要條件為 這就是 P（ x）存在且唯一的條件。 回顧 拉格朗日插值公式 ..)10(.出有牛頓插值公式形式，從而導項式變形為便于計算的這一缺點，可把插值多為了克服的實際計算中是很不方便式也要發(fā)生變化，這在均要隨之變化，整個公，，時，全部插值基函數(shù)但是，當插值節(jié)點增加中非常方便結構緊湊，在理論分析式，公式得到拉格朗日插值多項利用插值基函數(shù)很容易nklk?= 拉格朗日插值公式的優(yōu)缺點 n ? 1 希望找到 li(x)， i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ；然后令 ? = = n i i i n y x l x P 0 ) ( ) ( ，則顯然有 Pn(xi) = yi 。 li(x) 每個 li 有 n 個根 x0 … xi … xn ? = = = n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? = = j ? i j i i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( ?=? = njij jiji xxxxxl0)()()(?== niiin yxlxL0)()( 拉格朗日 多項式 與 有關，而與 無關 節(jié)點 f 拉格朗日插值公式 Lagrange插值 公式 (利用 插值基函數(shù) 很容易得到 ): 含義直觀 ,結構緊湊 ,在理論分析中非常方便 。 計算機上 實現(xiàn) 也很 容易 . 也有一些 缺點 ： 一是 計算量大 ，這是顯然的；另外，還有一個更嚴重的缺點，當插值節(jié)點增加時， 全部插值基函數(shù) 均要隨之 變化 ，整個計算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項都要改變，還要 增加一項 計算。 為克服上述兩個缺點 , 努力：把插值多項式變形為 便于計算 的形式。 希望： 計算改變的過程中 ,盡可能能利用已有的計算結果 . 下面我們將看到 ,這是可能的。我們可以有具有“ 承襲性 ”的所謂牛頓公式。 *1 拉格朗日插值的 Matlab實現(xiàn) 常用的幾個函數(shù) (一 ) POLY 函數(shù) 調用格式 ： Y = poly (V) (二 ) POLYVAL 函數(shù) 調用格式 ： Y = polyval(p,x) 返回矩陣特征多項式的系數(shù)。 返回 n次多項式 p在 x處的值。輸入變量 p=[p0 p1 p2…pn] 是一個長度為 n+1的向量，其元素為按降排列的多項式系數(shù)。 如輸入程序 Y = poly (3)；則返回 1 3，即其特征多項式為 x3 如 對多項式 ， 計算在 x=5,7,9的值。 ? ? 123 2 ??= xxxp(三 ) POLY2SYM 函數(shù) 調用格式一 ： poly2sym (C) 調用格式二 ： f1=poly2sym(C,39。V39。) 或 f2=poly2sym(C, sym (39。V39。) ) 輸入程序 p = [3 2 1]。 x=[5,7,9]。 polyval(p,x) 結果為 ans = 86 162 262 把多項式的系數(shù)向量轉化為符號多項式 如輸入程序 c=[1 3]。y=poly2sym(c) ；則返回 y =x3 如輸入程序 c=[1 3]。y=poly2sym(c,’s’) ； 或者 c=[1 3]。y=poly2sym(c,sym(’s’) )； 則返回 y =s3 (四 ) CONV 函數(shù) 調用格式 ： C =conv (A, B) 返回兩個多項式乘積的多項式系數(shù)，即卷積和 如輸入程序 A=[1 3]。B=[1 2]。C=conv(A,B) 則返回 C = 1 5 6 A、 B為兩個多項式的系數(shù) (五 ) DECONV 函數(shù) 調用格式 ： [Q,R] =deconv (B,A) conv函數(shù)的逆函數(shù)，返回兩個多項式相除的多項式系數(shù)及其余數(shù)，即反卷積和 若輸入程序 C=[1 5 7]。A=[1 3]。[B,R]=deconv(C,A) 則輸出 B = 1 2 R =0 0 1 如輸入程序 C=[1 5 6]。A=[1 3]。[B,R]=deconv(C,A) 則輸出 B = 1 2 R =0 0 0 (六 ) roots(poly(1:n))命令 調用格式： roots(poly(1:n)) (七 ) det(a*eye(size (A)) A)命令 調用格式： b=det(a*eye(size (A)) A) 如輸入程序 C=[1 3 2]。roots(C) 輸出結果為 ans = 數(shù)值解 輸入 poly(1:2) 輸出 ans = 1 3 2 輸入 roots(poly(1:2)) 輸出 ans = 2 1 1到 n的等差數(shù)列，其中 n=20 輸入 roots(poly(1:4)) 輸出 ans = 若常數(shù) a為矩陣 A的特征值，則返回 0 返回 n到 1的數(shù)值 例 *11已知函數(shù) f(x)在 [1,3]上具有二階連續(xù)導數(shù)， ，且滿足條件 f(1) =1， f(3)=2，求線性插值多項式和函數(shù)值 f()，并估計其誤差。 解 ：輸入程序 X=[1,3]。Y=[1,2]。 l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2) X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=。 Y = polyval(P,x) 運行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項式的系數(shù)向量 P、插值多項式 L和插值 Y為 l0 = l1 = L = Y = 1/2*x+3/2 1/2*x1/2 1/2*x+1/2 一、線性插值的 Matlab程序 逗號會將本句程序的結果輸出到命令窗口，分號則不會輸出 輸入程序 M=5。R1=M*abs((xX(1))* (xX(2)))/2 運行后輸出誤差限為 R1 = 例 *12求函數(shù) f(x)=ex在 [0,1]上線性插值多項式，并估計其誤差 . 解： 輸入程序 X=[0,1]。 Y =exp(X) , l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)X(1)), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P), 運行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項式的系數(shù)向量 P和插值多項式 L為 l0 = x+1 l1 = x P = L =1423408956596761/2251799813685248*x+1 輸入程序 M=1。x=0::1。 R1=M*max(abs((xX(1)).*(xX(2))))./2 運行后輸出誤差限為 R1 = . 點乘和點除表示向量對應相乘和對應相除 二、拋物線插值的 Matlab程序 例 *13求將區(qū)間 [0,π/2]分成 n等份（ n=1,2），用 y=f(x)=cos(x)產生 n+1個節(jié)點，分別作線性插值函數(shù)和拋物線插值函數(shù)，并用它們分別計算 cos (π/6) (取四位有效數(shù)字 )，并估計其誤差 . 解： n=1輸入程序 X=[0,pi/2]。 Y =cos(X) , l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2) X(1)), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=pi/6。 Y = polyval(P,x) 運行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項式的系數(shù)向量 P、插值多項式和插值為 l0