【正文】 )21)(01()2)(0(1)20)(10()2)(1())(())(())(())(())(())(()(2120210121012002021212?=?????=??=xxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL由拋物插值公式得 例 2： 已知 233s i n,214s i n,216s i n ===???分別利用 sin x 的 1次、 2次 Lagrange 插值計(jì)算 sin 50? 并估計(jì)誤差。 解： 0x 1x 2x185500 ?=n = 1 分別利用 x0, x1 以及 x1, x2 計(jì)算 4,6 10?? == xx?利用 216/4/ 6/214/6/ 4/)(1 ???= ?? ??? ? xxxL這里 )3,6(,s i n)(,s i n)( )2( ????? ?== xxxfxxf而 )4)(6(!2 )()(,2 3s i n21 )2(1 ???? =?? xxfxR xx)185( 1 ?? ?R ?sin 50? = … ) 18 5 ( 50 sin 1 0 ? ? ? L 外推 (extrapolation ) 的實(shí)際誤差 ? 3,4 21 ?? == xx?利用 sin 50? ? , 185~ 1 ???????? ?R內(nèi)插 (interpolation ) 的實(shí)際誤差 ? 內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。 n = 2 23))(())((21))(())((21))(())(()(4363463464363646342 ? ?? ?? =?????????????????? xxxxxxxL) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? ? L 2 3c os21。)3)(4)(6(!3c os)(2 ??=xx xxxxR ????? 2 ???????? ?R ?sin 50? = … 2次插值的實(shí)際誤差 ? 高次插值通常優(yōu)于低次插值 ,但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好 例 3 考慮下述的插值法問(wèn)題：求二次多項(xiàng)式 P(x)，滿(mǎn)足P(x0) = y0, 其中 是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問(wèn)題的解存在且唯一的條件 . ， 2211 )()( yxPyxP =?=? 21020 yyyxx 、 ??解 ：設(shè) 則 由已知條件有 ，cbxaxxP ??= 2)( .2)( baxxP ?=???????=?=??=??11222200202 ybaxycbxaxycbxax0012111222020?xxxxx0)()(2 2220201 ? xxxxx )0(2 20201 ??? xxxxx ?即 所以 故原問(wèn)題的唯一可解性就歸結(jié)為上述方程組的唯一可解性而后者唯一可解的充要條件為 這就是 P（ x）存在且唯一的條件。 回顧 拉格朗日插值公式 ..)10(.出有牛頓插值公式形式，從而導(dǎo)項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的這一缺點(diǎn)，可把插值多為了克服的實(shí)際計(jì)算中是很不方便式也要發(fā)生變化，這在均要隨之變化，整個(gè)公，，時(shí)，全部插值基函數(shù)但是，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加中非常方便結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析式，公式得到拉格朗日插值多項(xiàng)利用插值基函數(shù)很容易nklk?= 拉格朗日插值公式的優(yōu)缺點(diǎn) n ? 1 希望找到 li(x)， i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ；然后令 ? = = n i i i n y x l x P 0 ) ( ) ( ，則顯然有 Pn(xi) = yi 。 li(x) 每個(gè) li 有 n 個(gè)根 x0 … xi … xn ? = = = n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? = = j ? i j i i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( ?=? = njij jiji xxxxxl0)()()(?== niiin yxlxL0)()( 拉格朗日 多項(xiàng)式 與 有關(guān)，而與 無(wú)關(guān) 節(jié)點(diǎn) f 拉格朗日插值公式 Lagrange插值 公式 (利用 插值基函數(shù) 很容易得到 ): 含義直觀 ,結(jié)構(gòu)緊湊 ,在理論分析中非常方便 。 計(jì)算機(jī)上 實(shí)現(xiàn) 也很 容易 . 也有一些 缺點(diǎn) ： 一是 計(jì)算量大 ，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)， 全部插值基函數(shù) 均要隨之 變化 ，整個(gè)計(jì)算工作必須從頭開(kāi)始：不僅原來(lái)的每一項(xiàng)都要改變，還要 增加一項(xiàng) 計(jì)算。 為克服上述兩個(gè)缺點(diǎn) , 努力：把插值多項(xiàng)式變形為 便于計(jì)算 的形式。 希望： 計(jì)算改變的過(guò)程中 ,盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)果 . 下面我們將看到 ,這是可能的。我們可以有具有“ 承襲性 ”的所謂牛頓公式。 *1 拉格朗日插值的 Matlab實(shí)現(xiàn) 常用的幾個(gè)函數(shù) (一 ) POLY 函數(shù) 調(diào)用格式 ： Y = poly (V) (二 ) POLYVAL 函數(shù) 調(diào)用格式 ： Y = polyval(p,x) 返回矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)。 返回 n次多項(xiàng)式 p在 x處的值。輸入變量 p=[p0 p1 p2…pn] 是一個(gè)長(zhǎng)度為 n+1的向量，其元素為按降排列的多項(xiàng)式系數(shù)。 如輸入程序 Y = poly (3)；則返回 1 3，即其特征多項(xiàng)式為 x3 如 對(duì)多項(xiàng)式 ， 計(jì)算在 x=5,7,9的值。 ? ? 123 2 ??= xxxp(三 ) POLY2SYM 函數(shù) 調(diào)用格式一 ： poly2sym (C) 調(diào)用格式二 ： f1=poly2sym(C,39。V39。) 或 f2=poly2sym(C, sym (39。V39。) ) 輸入程序 p = [3 2 1]。 x=[5,7,9]。 polyval(p,x) 結(jié)果為 ans = 86 162 262 把多項(xiàng)式的系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為符號(hào)多項(xiàng)式 如輸入程序 c=[1 3]。y=poly2sym(c) ；則返回 y =x3 如輸入程序 c=[1 3]。y=poly2sym(c,’s’) ； 或者 c=[1 3]。y=poly2sym(c,sym(’s’) )； 則返回 y =s3 (四 ) CONV 函數(shù) 調(diào)用格式 ： C =conv (A, B) 返回兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的多項(xiàng)式系數(shù)，即卷積和 如輸入程序 A=[1 3]。B=[1 2]。C=conv(A,B) 則返回 C = 1 5 6 A、 B為兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù) (五 ) DECONV 函數(shù) 調(diào)用格式 ： [Q,R] =deconv (B,A) conv函數(shù)的逆函數(shù)，返回兩個(gè)多項(xiàng)式相除的多項(xiàng)式系數(shù)及其余數(shù)，即反卷積和 若輸入程序 C=[1 5 7]。A=[1 3]。[B,R]=deconv(C,A) 則輸出 B = 1 2 R =0 0 1 如輸入程序 C=[1 5 6]。A=[1 3]。[B,R]=deconv(C,A) 則輸出 B = 1 2 R =0 0 0 (六 ) roots(poly(1:n))命令 調(diào)用格式： roots(poly(1:n)) (七 ) det(a*eye(size (A)) A)命令 調(diào)用格式： b=det(a*eye(size (A)) A) 如輸入程序 C=[1 3 2]。roots(C) 輸出結(jié)果為 ans = 數(shù)值解 輸入 poly(1:2) 輸出 ans = 1 3 2 輸入 roots(poly(1:2)) 輸出 ans = 2 1 1到 n的等差數(shù)列，其中 n=20 輸入 roots(poly(1:4)) 輸出 ans = 若常數(shù) a為矩陣 A的特征值，則返回 0 返回 n到 1的數(shù)值 例 *11已知函數(shù) f(x)在 [1,3]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， ，且滿(mǎn)足條件 f(1) =1， f(3)=2，求線性插值多項(xiàng)式和函數(shù)值 f()，并估計(jì)其誤差。 解 ：輸入程序 X=[1,3]。Y=[1,2]。 l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2) X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=。 Y = polyval(P,x) 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P、插值多項(xiàng)式 L和插值 Y為 l0 = l1 = L = Y = 1/2*x+3/2 1/2*x1/2 1/2*x+1/2 一、線性插值的 Matlab程序 逗號(hào)會(huì)將本句程序的結(jié)果輸出到命令窗口，分號(hào)則不會(huì)輸出 輸入程序 M=5。R1=M*abs((xX(1))* (xX(2)))/2 運(yùn)行后輸出誤差限為 R1 = 例 *12求函數(shù) f(x)=ex在 [0,1]上線性插值多項(xiàng)式，并估計(jì)其誤差 . 解： 輸入程序 X=[0,1]。 Y =exp(X) , l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)X(1)), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P), 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P和插值多項(xiàng)式 L為 l0 = x+1 l1 = x P = L =1423408956596761/2251799813685248*x+1 輸入程序 M=1。x=0::1。 R1=M*max(abs((xX(1)).*(xX(2))))./2 運(yùn)行后輸出誤差限為 R1 = . 點(diǎn)乘和點(diǎn)除表示向量對(duì)應(yīng)相乘和對(duì)應(yīng)相除 二、拋物線插值的 Matlab程序 例 *13求將區(qū)間 [0,π/2]分成 n等份（ n=1,2），用 y=f(x)=cos(x)產(chǎn)生 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別作線性插值函數(shù)和拋物線插值函數(shù)，并用它們分別計(jì)算 cos (π/6) (取四位有效數(shù)字 )，并估計(jì)其誤差 . 解： n=1輸入程序 X=[0,pi/2]。 Y =cos(X) , l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2) X(1)), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=pi/6。 Y = polyval(P,x) 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P、插值多項(xiàng)式和插值為 l0