數(shù)值分析牛頓插值法(參考版)
2025-05-18 09:20本頁(yè)面
【正文】 誤差為 .)(,),)(2)(1(!3)(5232?????????xRttthxR ??。誤差為 華長(zhǎng)生制作 27 . o )(,),c o s)(2)(1(!3)(55232?? ??????????xRttthxR ?? 若用 Newton向后插值公式，則可取x0=,x1=,x2=,x=, h=,t=(xx2)/h=。 例 已知 f(x)=sinx的數(shù)值如表 26的第 2列，分別用 Newton向前、向后插值公式求 。由 t=(xx6)/h=，得 .1 3 1 3 )()( 3 ?? Nf 事實(shí)上， f()和 f()的真值分別為 。先構(gòu)造與均差表相似的差分表，見(jiàn)表 25得上半部分。華長(zhǎng)生制作 2 )(xlj ??? ??? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??我們知道 ,Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為 形式上太復(fù)雜 ,計(jì)算量很大 ,并且重復(fù)計(jì)算也很多 由線性代數(shù)的知識(shí)可知 ,任何一個(gè) n次多項(xiàng)式都可以表示成 ,1 ,0xx ? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?共 n+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合 那么，是否可以將這 n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？ 華長(zhǎng)生制作 3 ,1 ,0xx ? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?顯然，多項(xiàng)式組 線性無(wú)關(guān)， 因此，可以作為插值基函數(shù) ,ix設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為 ( ) , 0 , 1 , ,iif f x i n??函 數(shù) 值 為1,2,1,0,1 ???? ? nixxh iii ?ii hh m a x?nifxP ii ,1,0,)( ???插值條件為)())(())(()()(110102021????????????nn xxxxxxaxxxxaxxaaxP??具有如下形式設(shè)插值多項(xiàng)式 )( xP華長(zhǎng)生制作 4 nifxPxP ii ,1,0,)()( ???應(yīng)滿足插值條件000 )( afxP ??有 )()( 011011 xxaafxP ????00 fa ?01011 xxffa???))(()()( 12022021022 xxxxaxxaafxP ???????12010102022 xxxxffxxffa???????再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜 為此引入差商和差分的概念 華長(zhǎng)生制作 5 一、差商 (均差 ) 定義 1. nifxxfii ,1,0,)( ??處的函數(shù)值為在互異的節(jié)點(diǎn)設(shè)稱 )(],[ jixx ffxxfjijiji ????)(,)( 均差一階差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)為 ji xxxf)(],[],[],[ kjixx xxfxxfxxxfjkjikikji ?????的二階差商關(guān)于為 kji xxxxf ,)(依此類(lèi)推 華長(zhǎng)生制作 6 ],[ 110 kk iiii xxxxf ??階差商的關(guān)于節(jié)點(diǎn)為 kxxxxxf kk iiii ,)( 110 ??],[ 110 kk xxxxf ??差商具有如下性質(zhì) (請(qǐng)同學(xué)們自證 )： 且的線性組合表示可由函數(shù)值階差商的,)(,),(),(],[)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf?? ?顯然 kkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxxf??????1210110],[],[ ??kkkkkxxxxxxfxxxf??????1210110 ],[],[ ??華長(zhǎng)生制作 7 ],[ 110 kk xxxxf ???? ?? ?????ki kiiiiii
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