【正文】 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 0x 1x 1nx? nx2xXYO? ?fx? ?px在每個(gè)小區(qū)間 ［ix，1?ix］上， P i ( x )=iiiiiiiixxxxyxxxxy?????????1111( i =0 ， 1 ， … ， n 1) 則 ?????????????],[)(],[)(],[)()(11211100nnnxxxxPxxxxPxxxxPxP???????? 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 因此，在插值區(qū)間 [a， b]上有 2( ) ( ) m a x ( ) , [ , ] ( 6 2 6 )8a x bhf x P x。則 稱 P ( x ) 為 分段線性插值函數(shù) 。事實(shí)上，當(dāng) n變大時(shí)，插值過程對(duì)于節(jié)點(diǎn) 的數(shù)據(jù)誤差非常敏感，也就是說高次插值具有數(shù)值不 穩(wěn)定性。這種誤差在插值過程中是否會(huì) 被擴(kuò)散或放大呢？這就是插值過程的穩(wěn)定性問題。這種畸形現(xiàn)象通常叫做 Runge現(xiàn)象。 從 表達(dá)式看，似乎提高插值多項(xiàng)式的 次數(shù)便可達(dá)到目的，但實(shí)際上并非如此。(x1) 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 ? 多項(xiàng)式插值的問題 ? 分段線性插值 ? 分段三次埃爾米特插值 ? 小 結(jié) 第七節(jié) 分段低次插值 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 一、多項(xiàng)式插值的問題 前面介紹了構(gòu)造插值公式的方法，并分析了 它們的余項(xiàng) 。 x x0 x1 x2 p(x) f(x0) f(x1) f(x2) p 39。 五、數(shù)值實(shí)例 x 121 144 f(x) 11 12 f 39。12)()()()()(21)( 其中 ：??????njii ijijxxxxxl,0)(。39。39。39。239。39。2???????????jjjjjjjjjjjjjjjxlBAxAxlxlBAxxAlxBAxxlBAxj即??????????????????)(21)(20)()(2139。39。為次多項(xiàng)式，故是由于 )(12)( xCnxH ?得：由 0)(,1)( 39。39。 39。 39。0039。1212nifxfxHyxfxHiiiniiin?????????? 則稱 其 為 f ( x ) 關(guān)于節(jié)點(diǎn)0{}nix的 H ermite 插值多項(xiàng)式 。 )()()()()( 110011003 xmxmxyxyxH ???? ????? ? ? ? ? ?, 0 , 1 ,iix x i?? ?)1,0()(,0)(0)(,01)(?????????????ixxxjijixjijijijijiji??????)()()()()( 110011003 xmxmxyxyxH ???? ?????????理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 由于 由（ ）可設(shè) 再由（ ）可求得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 0 0 00 1 0 11 , 0 2 . 20 , 0 , 2 . 3xxxx??????????? ? ? ? ? ?20 1 0 ,x x x a x x b? ? ? ? ?????? ? ? ?231 0 1 012,bax x x x????() () 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 20111 0 1 0( ) 1 2 xxxxxx x x x?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?20 100 1 0 1( ) 1 2 xx xxxx x x x?? ? ? ?? ???? ? ? ???? ? ? ?22010 0 1 10 1 1 0( ) ( ) , ( ) ( ) xxxxx x x x x xx x x x??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?同理可得 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 2200 113 0 10 1 0 1 1 0 1 022010 0 1 10 1 1 0( ) 1 2 1 2( ) ( )x x x xx x x xH x y yx x x x x x x xxxxxx x m x x mx x x x? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ?＋故 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a , b ] 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) , 如果有不超過 2 n +1 次多項(xiàng)式21 ()nHx ?( 記為 H ( x ) ) 滿足 )(), . . .2,1,0()()(,)()(39。下面采用構(gòu)造基函數(shù)的方法來確定多 項(xiàng)式 。 插值節(jié)點(diǎn)為 xi=x0+ih (i=0,1, … , n), 如果要計(jì)算 x0附近點(diǎn) x 處的函數(shù)值 f(x), 可令 x=x0+th (0? t? 1),代入牛頓插值公式 ,可得 二、 Newton向前插值公式 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 ),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR????????????其余項(xiàng)為 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 )1()1(!)1(!2)()(2??????????????ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn??),(,)()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR????????? ???及其余項(xiàng) 三、 Newton向后插值公式 類似地 , 若計(jì)算 xn 附近的函數(shù)值 f(x), 可令 x=xn+th ( 1? t? 0) ，可得 牛頓后插公式 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 例 設(shè) y=f(x)=ex, xi=1, , 2, , 3, 用三次牛頓插值多項(xiàng)式求 f(). 相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下 : 四、數(shù)值實(shí)例 解 用牛頓前插公式 , 由 =1+, 得 t= 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 xi f (xi) 一階差分 二階差分 三階差分 四階差分 1 2 3 3( ) ( ) 828 341 ( 1 )2! ( 1 ) ( 2 ) 3863 23!fN ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 ? Hermite插值問題的提出 ? 三次 Hermite 插值 ? 2n+1 次 Hermite 插值多項(xiàng)式 ? Hermite插值余項(xiàng) ? 數(shù)值實(shí)例 第六節(jié) 埃爾米特 (Hermite)插值 理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編 一、 Hermite插值問題的提出 由于理論與實(shí)踐的需要，在構(gòu)造插值函數(shù) 時(shí)，不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求 它的（高階）導(dǎo)數(shù)值也相等（即要求在節(jié)點(diǎn)上具 有一定的光滑度），使得插值函數(shù)與被插函數(shù)貼 近程度更好，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是 Hermite 插值多項(xiàng)式，有時(shí)也稱為具有重節(jié)點(diǎn)插 值或切觸插值。如 mmk k mff ?? ? ?性質(zhì) 4 111[ , , , ]!1[ , , , ]!mi i i m immi m i m i imf x x x fmhf x x x fmh??? ? ?????性質(zhì) 2: 可用各階差分表示函數(shù)值。移位算子 E ： 由上面各種算子的定義可得算子間的關(guān)系： 由 可得 kkIf f? 1kkE f f ??1 ()k k k k k kf f f E f I f E I f?? ? ? ? ? ? ?.EI? ? ?同理可得 1??? EI＝理 學(xué) 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚(yáng) 王能超 易大義編