【正文】 對于 任意固定的 x?[a,b], x?xk ,構(gòu)造自變量 t 的輔助函數(shù) 上頁 下頁 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ? 由式 ?n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,…,n ),以及 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nR x f x L x K x x? ?? ? ?可知： x0 , x1, ? , xn 和 x 是 ?(t) 在區(qū)間 [a,b]上的 n+2個互異零點 , 因此根據(jù)羅爾 (Rolle) 定理 , 至少存在一點 ? =?(x) ?(a,b),使 ( 1 ) ( ) 0n??? ?( 1 ) ()() ( 1 ) !nfKx n ??? ?即 ( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ?所以 上頁 下頁 一般來說 ,外推比內(nèi)插效果差 ,在估計誤差時下列不等式很有用。以下為 拉格朗日余項定理 。 (3) 插值基函數(shù) l i(x) 的順序與插值節(jié)點 xi (i=0,1, … , n) 的順序一致 . 上頁 下頁 1)(0???nii xl這是因為若取 ?(x)=xk (k=0,1,…, n),由插值多項式的唯一性有 0( ) , 0 , 1 , ,nkkiiil x x x k n????特別當(dāng) k=0時 ,就得到 上頁 下頁 所以 019 1 4 1( ) ( 9 ), ( ) ( 4 )4 9 5 9 4 5xxl x x l x x??? ? ? ? ? ? ?1 0 0 1 111( ) ( ) ( ) 2 ( 9 ) 3 ( 4 )55L x y l x y l x x x?? ? ? ? ? ? ? ?1137 ( 7 ) 2. 65L? ? ?01, 4 , 9 ,y x x x? ? ?7例 1 已知 用線性插值 (即一次插值多項式 )求 的近似值。 00( ) ( )()( ) ( )( 0, 1 , , )nii i nx x x xlxx x x xin????11( )( )iix x x x????11( )( )i i i ix x x x????0( ) ( ) ( )inl x A x x x x? ? ?11( ) ( )iix x x x??????? ???nijj jijxxxx0上頁 下頁 n=1時的 一次基函數(shù) 為 : 0x 1xy 1 O x )(0 xl y 1 0x 1x)(1 xlO x .)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl??????上頁 下頁 即已知函數(shù) f(x)在點 x0和 x1點的函數(shù)值 y0=f(x0)， y1=f(x1). 求線性函數(shù) L(x)=a0+ a1x 使?jié)M足條件： L(x0)=y0 , L(x1)=y1. )()( 001010 xxxxyyyxL ?????此為兩點線性插值問題 上頁 下頁 或用直線的兩點式表示為： 0011( ) ( ) xx xxll則 稱 ： 叫 做 點 的 一 次 插 值 基 函 數(shù) 為 點 的 一 次 插 值 基 函 數(shù)插值基函數(shù)的特點 ： x0 x1 l0 1 0 l1 0 1 1 x0 x1 l0 l1 .)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl??????記 .)(010110101 xxxxyxxxxyxL??????上頁 下頁 1200 1 0 2( ) ( )( ) ,( ) ( )x x x xlxx x x x?????n=2時的 二次基函數(shù) 為 : 0211 0 1 2( ) ( )( ) ,( ) ( )x x x xlxx x x x?????0122 0 2 1( ) ( )( ) .( ) ( )x x x xlxx x x x?????上頁 下頁 0 0 1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n n i iiL x y l x y l x y l x y l x?? ? ? ? ? ?可知其滿足 拉格朗日插值多項式 利用拉格朗日基函數(shù) l i(x), 構(gòu)造次數(shù) 不超過 n的多項式 njyxL jjn ,1,0)( ???)()( xLxP nn ?稱為 拉格朗日插值多項式 ,再由插值多項式的唯一性 , 得 特別地 , 當(dāng) n =1時又叫 線性插值 ,其幾何意義為過兩點的直線 . 當(dāng) n =2時又叫 拋物（線）插值 , 其幾何意義為過三點的拋物線 . 上頁 下頁 1)(0???nii xl注意 : (1) 對于插值節(jié)點 ,只要求它們互異 ,與大小次序無關(guān) 。 上頁 下頁 定理 1 設(shè)節(jié)點 xi (i=0,1, … , n)互異 , 則滿足插值條件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次數(shù)不超過 n的多項 式存在且唯一 . 證 設(shè)所求的插值多項式為 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (52) 則由插值條件式 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得 關(guān)于系數(shù)a0 ,a1 , …,a n的線性代數(shù)方程組 插值多項式的存在性和唯一性 上頁 下頁 ???????????????????nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa????101111000010此方程組有 n+1個方程 , n+1個未知數(shù) , 其系數(shù)行列式是范德蒙 (Vandermonde)行列式： （ 53） 20 0 021 1 1211( ) 01nnjijinn n nx x xx x xxxx x x?? ? ??由克萊姆法則知方程組 (53) 的解存在唯一 . 證畢。 從幾何意義來看 ,上述問題就是要求一條多項式曲線 y=Pn(x), 使它通過已知的 n+1個點(xi,yi) (i=0,1, … , n),并用Pn(x)近似表示 f(x). 上頁 下頁 即 P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn 其中 ai為實數(shù)，就稱 P(x) 為 插值多項式 ，相應(yīng)的插值法稱為 多項式插值 ，若 P(x)為分段的多項式，就稱為 分段插值 ，若 P(x)為三角多項式 ,就稱為 三角插值 ，本章只討論插值多項式與分段插值。上頁 下頁 在工程技術(shù)與科學(xué)研究中，常會遇到函數(shù)表達式過于復(fù)雜而不便于計算，且又需要計算眾多點處的函數(shù)值；或已知由實驗（測量）得到的某一函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 [a,b]中互異的 n+1個 xi ( i=0, 1, ... ,n)處的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要構(gòu)造一個 簡單易算的函數(shù) P(x)作為 y=f(x)的近似表達式 y=f(x)≈P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n) 這類問題就稱為 插值問題 ， P(x)稱為 插值函數(shù) ， P(x)一般取最簡單又便于計算得函數(shù)。 第 2章 插 值 法 上頁 下頁 x0 x1 x2 x3 x4 x P(x) ? f(x) f(x) y=f(x)≈P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n) 其它點 P(x)? f(x) = y 上頁 下頁 插值問題 設(shè) y= f(x) 是區(qū)間 [a , b] 上的一個實函數(shù) , xi ( i=0, 1, ... ,n)是 [a,b]上 n+1個互異實數(shù) ,已知 y=f(x) 在 xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一個 次數(shù)不超過 n的多項式Pn(x)使其滿足 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) (51) 這就是 多項式插值問題 . 引言 上頁 下頁 其中 Pn(x) 稱為 f(x) 的 n次插值多項式 , f(x) 稱為 被插函數(shù) , xi(i=0,1, ...,n)稱為 插值節(jié)點 , (xi, yi) (i=0,1, … , n) 稱為插值點 , [a,b] 稱為 插值區(qū)間 , 式 (51)稱為 插值條件 。 本章主要研究如何求出 插值多項式 ， 分段插值函數(shù) ， 樣條插值函數(shù) ；討論插值多項式 P(x)的 存在唯一性 、 收斂些 及 誤差估計 等。 上頁 下頁 考慮最簡單、最基本的插值問題 . 求 n次插值多項式 l i(x) (i=0,1, …, n), 使其滿足 插值條件 0,( ) ( 0, 1 , , )1,ijjil x j nji????? ?? 基函數(shù) 可知 , 除 xi點外 , 其余都是 li(x)的零點 , 故可設(shè) Lagrange 法 17361813 0( ) ( ) ( )inl x A x x x x? ? ?11( ) ( )iix x x x???? 拉格朗日插值 上頁 下頁 其中 A為常數(shù) , 由 li(xi)=1可得 )())(()(1110 niiiiii xxxxxxxxA ??????? ??稱之為 拉格朗日基函數(shù) , 都是 n次多項式 。 以 xi (i=0,1,…, n)為插值節(jié)點 , 函數(shù) f(x) ?1作插值多項式 , 由插值多項式的唯一性即得 基函數(shù)的一個性質(zhì) (2) 插值基函數(shù) l i(x) 僅由插值節(jié)點 xi (i=0,1, … , n)確定 , 與被插函數(shù) f(x)無關(guān) 。 012 , 3 ,yy?? 基函數(shù)分別為 : 解 插值多項式為 23( 9 ) ( 4 )55xx? ? ? ? ?1 ( 6 )5 x??( ) 上頁 下頁 4,3,1,1 3210 ????? xxxx)4)(3)(1(40 1)41)(31)(11( )4)(3)(1()(0 ??????????? ???? xxxxxxxl)4)(3)(1(12 1)41)(31)(11( )4)(3)(1()(1 ??????? ???? xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13( )4)(1)(1()(2 ???????? ???? xxxxxxxl)3)(1)(1(15 1)34)(14)(14( )3)(1)(1()(3 ??????? ???? xxxxxxxl例 2 求過點 (1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的拋物線插值 (即三次插值多項式 ). 解 以 以為節(jié)點的基函數(shù) 分別為 : 上頁 下頁 )()()()()( 332211003 xlyxlyxlyxlyxL ????)3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401)2(????????????????????????xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1