計算方法-數(shù)值積分-插值型積分-展示頁
2024-08-20 17:03本頁面
【正文】 0 )31f ( x) dx解 : 梯形公式和辛卜生的計算結果不準確值比較如下表所示 計算其積分結果并不準確值迚行比較。 ?? ba kk ( x) d xlA() 記 ()的余項為 ，由插值余項定理得 R(f)? ? ???????ba1)(nbaω ( x ) dx1 ) !(n( ξ )fdxP ( x)f ( x )R ( f )b][ a ,ξ ?其中 注意：當 f(x)是次數(shù)丌高于 n的多項式時， 因此，求積公式 ()成為準確的等式。 (x)?(x)?(x)?要求： 插值求積公式 ???n0kkk ( x))lf ( xP ( x))(xω)x(xω ( x )xxxx( x )lkknkj0j jkjk ?????? ???其中，對 k=0,…,n n),0 , 1 ,(kx k ??)f(x k設已知 f(x)在節(jié)點 有函數(shù)值 ,作 n次 拉格朗日插值多項式 … )x(x)x)(xx(xω ( x ) n10 ???? ?… ? ?????? ba kn0kkbaba( x) dxl)f ( x P ( x ) dxf ( x ) dx?? ????bakkba kkdx)(xω)x(xω ( x )( x) dxlA其中 稱為求積系數(shù)。 第 2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法 (x)?以此構造數(shù)值算法。 則分別得到如下的梯形公式和中矩形公式。但點 ξ的具體位置是未知的 , 因而 的值也是未知的。該面積難于計算是因為它有一條曲邊 y=f(x)。 ?將積分區(qū)間紳分 ,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復雜函數(shù)迚行積分，這就是數(shù)值積分的思想， ?用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù) f(x)迚行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。 ? 對于以上情況，通過 NewtonLeibniz公式求原函數(shù)計算積分的準確值都是十分困難的。 (1) 被積函數(shù) f(x)沒有用初等函數(shù)的有限 形式表示的原 函數(shù) F(x)，例如： dxe 和dx xs i n x 10x102?? ?(2) 被積函數(shù) f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示， 但表 達式太復雜，例如 的原函數(shù)： 32xxf ( x ) 22 ?? 則無法應用 NewtonLeibnitz公式。第 6次 數(shù)值積分 插值型積分 誤差 求積公式的收斂性不穩(wěn)定性 計算方法 (Numerical Analysis) 第四章 數(shù)值積分 1. 數(shù)值積分引論 2. 機械求積方法 3. 以簡單函數(shù)近似逼近被積函數(shù)方法 插值型求積公式 4. 插值型求積公式的例子 5. 求積公式的收斂性和穩(wěn)定性 數(shù)值積分引論 第四章 數(shù)值積分 引言 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a, b]上連續(xù)且其原函數(shù)為 F(x),則可用 NewtonLeibnitz公式 : ? ??ba F ( a )F ( b )f ( x ) d x求定積分的值。 ? 評論 ： NewtonLeibnitz公式 無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并丌能完全解決定積分的計算問題。 在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況： )32xxx2l n (216932xx16332xx41F ( x) 22222 ???????(3) 被積函數(shù) f(x)沒有具體的解析表達式 , 其函數(shù) 關系由表格或圖形表示。 ? 因而需要研究一種新的積分方法 ：數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。 Home 機械求積方法 數(shù)值積分概述 ?? ba f ( x ) d xI圖 41 數(shù)值積分 的幾何意義 積分值 的幾何表示：由 x=a, x=b, y=0以及 y=f(x)這四條邊所圍的曲邊梯形面積。 數(shù)值積分的基本思想 y = f(x) y a b 最常用的建立數(shù)值積分公式的兩種方法： f(ξ)本段講授機械求積方法 . b][ a ,ξa ) f ( ξ ) ,(bf ( x) d xba????即所求的曲邊梯形的面積 恰好 等于底為 (ba)，高為 的矩形面積。 f(ξ)第 1種 ： 機械求積方法 . 第 2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法 由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù) f(x)，在積分區(qū)間 [a, b]內(nèi)存在一點 ξ，使得 謎 三個求積分公式 y 構造出一些求積分值的近似公式。 )2baf(f ( ξ ) ??2f ( b)f ( a )f ( ξ ) ??梯形公式中的
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