【正文】 112020 1211011)()()( 1)()()( 1)())(()(11)( ????????? ?????????????????????????????? ?mmmmmmmmmmmmmj mmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf????. . )())(()()(0 110歸納法完成時命題成立于是，當 mkxxxxxxxxxfmj mjjjjjjj?????? ?? ?? ?? ],[],[ : ( 2 )00 kijkji xxxxfxxxxf ?????? ?如性，無關，稱為差商的對稱差商與所含節(jié)點的次序( 3 . 4 ) ],[],[],[ ( 3 )010110 xxxxfxxfxxxfkkkk ??? ????差商還可表示為( 3 . 5 ) ],[ ,!)(],[ , ,],[,)( )4()(010banfxxfnbaxxxxfnnn?? ?????使得點則在此區(qū)間內(nèi)至少有一階導數(shù)上具有的區(qū)間在含有如果 )1(?)2(?由 ()得差商表 : k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 ? 0 1 2 3 4 ┆ x0 x1 x2 x3 x4 ┆ f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) ┆ f[x0, x1] f[x1, x2] f[x0,x1,x2] f[x2, x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3] f[x3, x4] f[x2, x3,x4] f[x1,x2,x3,x4] ? ┆ ┆ ┆ : , 一種形式次代數(shù)插值多項式的另可推出由差商的定義 n??????????????????????],[)(],[],[],[)(],[],[],[)(],[],[],[)(][][0010210221010101100000nnnnxxxfxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf?????],[)())(( ],[)())(( ],[))((],[)(][)(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf??????????????????????],[)())(()( 1010 nnn xxxxfxxxxxxxE ?? ????],[)())(( ],[))((],[)(][)(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN??? ????????????).()()( xExNxf nn ?? ),()( ),()( ),0 ,1 ,()( xRxExLxNnifxN nnnniin ????? ?).,( ,)!1( )(],[ )1(0 banfxxxf nn ???????并有],[)(][)( 10001 xxfxxxfxN ???],[))(()()( 2101012 xxxfxxxxxNxN ????,?1 0 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , , ] .k k k kN x N x x x x x x x f x x x??? ? ? ? ?可估計誤差 . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1 插值多項式求四次牛頓時設當 ?? ii xfx練習k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 4 7 8 6 3 3 0 1 1 1/3 2 3/2 1/6 1/24 )()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1( 0)2)(1(3)1(1)(241314????????????????????xxxxxxxxxxxN112332248331294241 ????? xxxx 若增加數(shù)據(jù)點 (6,10), 求五次牛頓插值多項式 ? k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 0 1 2 3 4 5 .)( )( 的近似值，估計誤差，計算求四次牛頓插值多項式的函數(shù)表，給定fxf例2P32例 4 ,)()(),)()()(( ))()(( ))(()()(44?????????????????NfxxxxxxxxxxxN做出差商表，得到],[)())(()( 4104104 xxxxfxxxxxxxR ?? ????.|)(],[||)(| 955104 ???? ?xxxfxR ?040 .5 9 6 ( ) 0 .6 3 1 9 2 , [ , , , ] .x f x f x x x??或 由 和 得 的 近 似 值*167。 二、一般概念 若存在一個上的函數(shù)值且已知它在點上有定義在區(qū)間設函數(shù) ., ,],[)(1010 nn yyybxxxabaxfy?? ??????.,)()(( 1 . 1 ) ),1,0( )( )(10 插值節(jié)點插值函數(shù) 為，點的為則稱，滿足條件簡單函數(shù)niixxxxfxPniyxPxP???? .)(( 1 . 2 ) )( )( )(10插值多項式為則稱為實數(shù)其中的代數(shù)多項式是一個次數(shù)不超過若xPaxaxaaxPnxPinn???? ?.?? 三角插值分段插值 ；三、幾何意義 本章：求出插值多項式 , 分段插值函數(shù) , 樣條插值函數(shù)； 討論 P(x)的存在唯一性、收斂性及誤差估計 . , ( 2 . 6 )( ) .nnnnHxH ?在 次 數(shù) 不 超 過 的 多 項 式 集 合 中 滿 足 條 件的 插 值 多 項 式 P 是 存 在 唯 一 的定 理 1nnn xaxaaxp ???? ?10)(???????????????????nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa. . .. . . . . .. . .. . .101111000010nnnnnnxxxxxxxxxV???????111),(110010?? ??????niijji xx010)(證明 : 設 將節(jié)點代入 : 四、插值多項式的存在唯一性 0),( 10 ?nxxxV ?由于節(jié)點互異 : )(0 jixxji ???方程組有且只有唯一解 . 167。? 引言 ? 拉格朗日插值 ? 差商與牛頓插值 ? 差分與等距節(jié)點插值 * ? 埃爾米特插值 ? 分段低次插值 ? 樣條插值 第 5章 插值法 167。 1 引 言 一、問題背景 ? )( xfy ?),1,0( )( nixfy ii ???),1,0( )()( )( nixfxPxP ii ???，滿足求簡單應用：例如程控加工機械零件等。 2 拉格朗日插值 一、線性插值和拋物插值 對給定插值點 ,求出形如 ( 1 . 2 ) )( )( 10 為實數(shù)其中 inn axaxaaxP ???? ?的插值多項式的方法有多種 . .幾何意義11 1 11 1 1 11 , [ , ]( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) .kkk k k kk k k kn x xy f x y f x L xL x y L x y??????????先 考 察 時 假 定 給 定 區(qū) 間 及 端 點 函 數(shù) 值要 求 線 性 插 值 多 項 式 ，滿 足 )()( 111 kkkkkk xxxxyyyxL ???????已有公式： )( 11111 ??????????kkkkkkkk yxxxxyxxxxxL ( 2 . 3 ) ),()()( 2 . 2 )( ,)( 1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk??????????????則所求線性插值多項式）（令 ( 2 . 3 ) ),()()( 2 . 2 )( ,)( 1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk??????????????則所求線性插值多項式）（令.1,)(0)( 0)(1)( )()(11111線性插值基函數(shù)稱為，并滿足也是線性插值多項式，和其中?????????kkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxl.幾何意義.)( ,)( ,)( )(