【正文】 ],[))(( ],[)(][)(,0111211101xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNxxxnnnnnnnnnnnnnnnn??????????????????????則次序?yàn)樵谂ｎD插值公式中節(jié)點(diǎn)( 4 . 1 3 ) ),( ),()!1( )()1()( 0)1(1 nnnn ,xxfhn ntttxR ?? ???? ?? ???( 4 . 1 2 ) ,!)1()1(!2)1()(,)01(2nnnnnnnnfnntttfttftfthxNtthxx????????????????????時(shí)當(dāng)],[)())(()( 0101 xxxxfxxxxxxxR nnnnn ??? ?? ????. )(|)()(|!5| i n|)(.)(7544?????????????RN插公式得到做出差商表，用牛頓前.)()( ,6,1,0,c o s)( 近似值，并計(jì)誤差的及算用四次等距插值公式計(jì)函數(shù)值，處的的在給出ffhkkhxxxf k ???? ?例3. )(|)()(|!5| i n|)(.)(7544????????????????RN用牛頓后插公式得到，167。 1 引 言 一、問題背景 ? )( xfy ?),1,0( )( nixfy ii ???),1,0( )()( )( nixfxPxP ii ???，滿足求簡(jiǎn)單應(yīng)用：例如程控加工機(jī)械零件等。 6 分段低次插值 一、高次插值的病態(tài)性質(zhì) 龍格 (Runge)現(xiàn)象 4 2 2 412例如：對(duì)函數(shù) 在區(qū)間 [5， 5]內(nèi)進(jìn)行插值，并對(duì)比插值結(jié)果。 注： 三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于 S(x)自身光滑 ，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在 2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而 Hermite插值依賴于 f 在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。 ? Hermite： 給出 yi 及 yi ’，選 hi(x) 及 hi(x) 。 ④ 找到 x 所在區(qū)間 ( 即找到相應(yīng)的 j ) 。 ）（上在每個(gè)小區(qū)間由定義知6 . 1 , ,)( ,],[,111111?????????????? kkkkkkkkkkhkkxxxfxxxxfxxxxxIxxkx 1?kx nx1x）（或，得到誤差估計(jì)時(shí)，記當(dāng)6 . 4 .8|)()(|ma x ,|))((|ma x2|)()(|ma x |)(|ma x],[)(22122211hMxIxfxxxxMxIxfxfMbaCxfhbxakkxxxhxxxbxakkkk?????????????????????}{m a x 1 kkk xxh ?? ? 類似地，為求 f(x) 的近似值，也可選取距 x 最近的三個(gè)結(jié)點(diǎn) xk1, xk, xk+1進(jìn)行二次插值，即取 : ? ?1 1 1211 1 1 1 111 1 11 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),( ) ( )k k k kkkk k k k k k k kkkk k kk k k kx x x x x x x xP x P x y yx x x x x x x xx x x xy x x xx x x x? ? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????這種插值稱為 分段二次插值 （又稱分段拋物插值） 三、分段二次插值 11 [ , 1 ]( 1 )( ) ( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 )k k k kkkx k x kP x y y y x k y x kk k k k ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?解 ： 在 每 個(gè) 分 段 區(qū) 間 上( 1 ) 0 .5 , [ 0 , 1 ]0 .5 2 ) 0 .2 1 ) , [ 1 , 2 ]() 0 .2 3 ) 0 .1 2 ) [ 2 , 3 ]0 .1 4 ) 0 .0 5 3 ) [ 3 , 4 ]0 .0 5 8 8 2 5 ) 0 .0 3 8 4 6 4 ) [ 4 , 5 ]x x xx x xPx x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ( (于 是 ， ( ( ( ( ( (( 4. 5 ) 0. 05 88 2( 4. 5 5 ) 0. 03 84 6( 4. 5 4) 0. 04 86 ? ? ? ? ? ?21 ( ) [ 0 , 5 ]1( )y f xxf???已 知 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 取 等 距 插 值 節(jié) 點(diǎn) ( 如 下 表 ) ，求 區(qū) 間 上 的 分 段 線 性 插 值 函 數(shù) ， 并 利 用 它 求 的 近 似 值 .例四、分段三次埃爾米特插值 分段線性插值函數(shù)導(dǎo)數(shù)間斷，若已知節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)，可構(gòu)造一個(gè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的插值函數(shù) Ih(x)，滿足 .],[)( ( 3 ) ,1,0,)(,)( ( 2 ) ],[)( ( 1 ) 11上是一個(gè)三次多項(xiàng)式在每個(gè)小區(qū)間 ???????kkhkkhkkhhxxxInkfxIfxIbaCxI?( 6 . 5 ) .)()( 21 21)(1211211121112111??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhfxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxI167。 4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 .,4 . 3 )( , : 4 . 2 )( , : 4 . 1 )( , : . ,)(),1,0(1)(2121110向后和中心差分算子分別稱為向前和中心差分向后差分向前差分為常數(shù)，稱為步長(zhǎng)這里函數(shù)值上的個(gè)等距節(jié)點(diǎn)在已知????????????????????kkkkkkkkkiiiffffffffΔfhfxfniihxxnxf定義3?上節(jié)討論任意分布節(jié)點(diǎn)的插值公式，應(yīng)用時(shí)常碰到等距節(jié)點(diǎn)的情形，此時(shí)插值公式可簡(jiǎn)化，為此先介紹差分． 一、差分及其性質(zhì) .2 1212 kkkkkk ffffff ???????? ???階差分利用一階差分可定義二 . 。 二、一般概念 若存在一個(gè)上的函數(shù)值且已知它在點(diǎn)上有定義在區(qū)間設(shè)函數(shù) ., ,],[)(1010 nn yyybxxxabaxfy?? ??????.,)()(( 1 . 1 ) ),1,0( )( )(10 插值節(jié)點(diǎn)插值函數(shù) 為，點(diǎn)的為則稱，滿足條件簡(jiǎn)單函數(shù)niixxxxfxPniyxPxP???? .)(( 1 . 2 ) )( )( )(10插值多項(xiàng)式為則稱為實(shí)數(shù)其中的代數(shù)多項(xiàng)式是一個(gè)次數(shù)不超過若xPaxaxaaxPnxPinn???? ?.?? 三角插值分段插值 ；三、幾何意義 本章：求出插值多項(xiàng)式 , 分段插值函數(shù) , 樣條插值函數(shù)； 討論 P(x)的存在唯一性、收斂性及誤差估計(jì) . , ( 2 . 6 )( ) .nnnnHxH ?在 次 數(shù) 不 超 過 的 多 項(xiàng) 式 集 合 中 滿 足 條 件的 插 值 多 項(xiàng) 式 P 是 存 在 唯 一 的定 理 1nnn xaxaaxp ???? ?10)(???????????????????nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa. . .. . . . . .. . .. . .101111000010nnnnnnxxxxxxxxxV???????111),(110010?? ??????niijji xx010)(證明 : 設(shè) 將節(jié)點(diǎn)代入 : 四、插值多項(xiàng)式的存在唯一性 0),( 10 ?nxxxV ?由于節(jié)點(diǎn)互異 : )(0 jixxji ???方程組有且只有唯一解 . 167。 211)(xxf ??二、分段線性插值 所謂分段線性插值就是用通過插值點(diǎn)的折線段逼近 f(x). .)(,],[)( ( 3 ) ,1,0,)( ( 2 ) ],[)( ( 1 ) )(,m a x , ,11010分段線性函數(shù)xIxxxInkfxIbaCxIxIhhxxhffbxxxahkkhkkhhhkkkkknn則稱上是線性函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間滿足求折線函數(shù)記上的函數(shù)值已知節(jié)點(diǎn)????????????????解決 : 方法一、采用分段低次插值 方法二、在各節(jié)點(diǎn)處不僅給出其函數(shù)值，還給出其各階導(dǎo)