【正文】 x x x x x x???????? ? ? ???? ? ? ? ??思考 : 進一步求函數 x= ? 思考 : 誤差估計 ? ))(()()( 3 ?????? Lf. ),(( 2 . 1 4 ) ,)()!1()()()()( ],[ ,)( 2 . 61)()( ,),()( ,],[)( 0)1(10)1()(xbaxxnfxLxfxRbaxbxxxanxfxLbaxfbaxfnjjnnnnnnn且依賴于其中插值余項則對于任何的插值多項式足條件上的滿個節(jié)點在是內存在在設上連續(xù)在設????????????????????定理2三、插值余項與誤差估計 ( 2 . 1 6 ) |,)(|)!1(|)(| ,|)(|ma x1n11)1(xnMxRMxfnnnnbxa??????????則若 證明： P26 ( 2 . 1 7 ) ],[ ),)(()(21)()(21)( ,1101021xxxxxxfxfxRn??????????????線性插值余項時當( 2 . 1 8 ) ],[ ),)()(()(61)( ,2202102 xxxxxxxxfxRn???????????拋物插值余項時當例 1 已知 =, =, = ,用線性插值計算和 拋物插值計算 , 并估計誤差 . 0 . 3 3 0 3 6 5 . )()( i n 0010101?????????xxxyyyL解： |,))((|2|)(| 1021 xxxxMxR ???. . 3 3 3 521|)(|, i n|)(|m a x511220??????????????RxxfMxxx例 1 已知 =, =, = ,用拋物插值計算 , 并估計誤差 . 02122 0 10 1 0 2 1 0 1 20122 0 2 12( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) sin 367 ( 367 ) 303 65.x x x xx x x xL x y yx x x x x x x xx x x xyx x x xL??????? ? ? ??????? ? ?解 ：. . 8 2 861|)(|,)c o s ( |,))()((|6|)(|620321032??????????????RxMxxxxxxMxR167。 3 差商與牛頓插值多項式 一、差商及其 性質 拉格朗日插值優(yōu)缺點 ? . 0 1 0 2 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 3 . 1 ) n n nP x a a x x a x x x x a x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為 此 考 察 :01 , , , ( ) , ( 0 , 1 , , )nn i ia a aP x f i n??其 中 為 待 定 系 數 ， 由 以 下 插 值 條 件 確 定 ：.)(, 0000 faxPxx n ??? 時當. )()(,01011101011xxffafxxaaxPxxn ???????? ，推得時當. ))(()()(,12010102022212022021022xxxxffxxffafxxxxaxxaaxPxx n???????????????推得，時當.)(][][],[ 一階差商定義2的及在兩點為函數稱 jiijijji xxxfxxxfxfxxf???.,)(],[],[],[ 二階差商的三點在為稱kjijkjikikjixxxxfxxxxfxxfxxxf???3 , , . .nkaaa依 此 遞 推 得 到為 寫 出 系 數 的 一 般 表 達 式 ， 引 進 差 商 定 義一般地，稱. )(,1)( ( 3 .2 ) ],[],[],[ 101102010均差階差商 也稱為的點在為 kkkkkkkkxxxkxfxxxxfxxxfxxxf???????????差商的基本性質 : ( 3 . 3 ) . )())(()()(],[ : ( 1 )0 1100 ?? ?? ?????kj njjjjjjjkxxxxxxxxxfxxf???如的線性組合，差商可以表示為函數值. ,][][][][],[ ,1 . :011100010110 命題成立時當數學歸納法證明xxxfxxxfxxxfxfxxfk????????★ ????? ????? ????????????????mmjj mjjjjjjjmmmj mjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010 111010 )())(()()(],[ )())(()()(],[ , ,1??????和即命題成立時設? ?1102001],[],[],[ ??? ???mmmmmm xxxxfxxxfxxfm???知階差商定義和上面兩式由12101112020 1211011)()()( 1)()()( 1)())(()(11)( ????????? ?????????????????????????????? ?mmmmmmmmmmmmmj mmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf????. . )())(()()(0 110歸納法完成時命題成立于是，當 mkxxxxxxxxxfmj mjjjjjjj?????? ?? ?? ?? ],,[],,[ : ( 2 )00 kijkji xxxxfxxxxf ?????? ?如性，無關，稱為差商的對稱差商與所含節(jié)點的次序( 3 . 4 ) ],[],[],[ ( 3 )010110 xxxxfxxfxxxfkkkk ??? ????差商還可表示為( 3 . 5 ) ],[ ,!)(],[ , ,],[,)( )4()(010banfxxfnbaxxxxfnnn?? ?????使得點則在此區(qū)間內至少有一階導數上具有的區(qū)間在含有如果 )1(?)2(?由 ()得差商表 : k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 ? 0 1 2 3 4 ┆ x0 x1 x2 x3 x4 ┆ f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) ┆ f[x0, x1] f[x1, x2] f[x0,x1,x2] f[x2, x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3] f[x3, x4] f[x2, x3,x4] f[x1,x2,x3,x4] ? ┆ ┆ ┆ : , 一種形式次代數插值多項式的另可推出由差商的定義 n??????????????????????],[)(],[],[],[)(],[],[],[)(],[],[],[)(][][0010210221010101100000nnnnxxxfxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf?????],[)())(( ],[)())(( ],[))((],[)(][)(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf??????????????????????],[)())(()( 1010 nnn xxxxfxxxxxxxE ?? ????],[)())(( ],[))((],[)(][)(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN??? ????????????).()()( xExNxf nn ?? ),()( ),()( ),0 ,1 ,()( xRxExLxNnifxN nnnniin ????? ?).,( ,)!1( )(],[ )1(0 banfxxxf nn ???????并有],[)(][)( 10001 xxfxxxfxN ???],[))(()()( 2101012 xxxfxxxxxNxN ????,?1 0 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , , ] .k k k kN x N x x x x x x x f x x x??? ? ? ? ?可估計誤差 . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1 插值多項式求四次牛頓時設當 ?? ii xfx練習k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商