【正文】 數(shù)值，即分段 Hermite插值法。 f(x) H(x) S(x) 三次樣條插值的算法步驟： ① 計算 ?j , ? j , gj 。 ? Spline：分段低次 , 自身光滑 , f 的導(dǎo)數(shù)只在邊界給出。 ③ 寫出樣條函數(shù) S(x)。 方法四、采用有理逼近。 3 差商與牛頓插值多項(xiàng)式 一、差商及其 性質(zhì) 拉格朗日插值優(yōu)缺點(diǎn) ? . 0 1 0 2 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 3 . 1 ) n n nP x a a x x a x x x x a x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為 此 考 察 :01 , , , ( ) , ( 0 , 1 , , )nn i ia a aP x f i n??其 中 為 待 定 系 數(shù) ， 由 以 下 插 值 條 件 確 定 ：.)(, 0000 faxPxx n ??? 時當(dāng). )()(,01011101011xxffafxxaaxPxxn ???????? ，推得時當(dāng). ))(()()(,12010102022212022021022xxxxffxxffafxxxxaxxaaxPxx n???????????????推得，時當(dāng).)(][][],[ 一階差商定義2的及在兩點(diǎn)為函數(shù)稱 jiijijji xxxfxxxfxfxxf???.,)(],[],[],[ 二階差商的三點(diǎn)在為稱kjijkjikikjixxxxfxxxxfxxfxxxf???3 , , . .nkaaa依 此 遞 推 得 到為 寫 出 系 數(shù) 的 一 般 表 達(dá) 式 ， 引 進(jìn) 差 商 定 義一般地，稱. )(,1)( ( 3 .2 ) ],[],[],[ 101102010均差階差商 也稱為的點(diǎn)在為 kkkkkkkkxxxkxfxxxxfxxxfxxxf???????????差商的基本性質(zhì) : ( 3 . 3 ) . )())(()()(],[ : ( 1 )0 1100 ?? ?? ?????kj njjjjjjjkxxxxxxxxxfxxf???如的線性組合，差商可以表示為函數(shù)值. ,][][][][],[ ,1 . :011100010110 命題成立時當(dāng)數(shù)學(xué)歸納法證明xxxfxxxfxxxfxfxxfk????????★ ????? ????? ????????????????mmjj mjjjjjjjmmmj mjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010 111010 )())(()()(],[ )())(()()(],[ , ,1??????和即命題成立時設(shè)? ?1102001],[],[],[ ??? ???mmmmmm xxxxfxxxfxxfm???知階差商定義和上面兩式由12101112020 1211011)()()( 1)()()( 1)())(()(11)( ????????? ?????????????????????????????? ?mmmmmmmmmmmmmj mmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf????. . )())(()()(0 110歸納法完成時命題成立于是，當(dāng) mkxxxxxxxxxfmj mjjjjjjj?????? ?? ?? ?? ],[],[ : ( 2 )00 kijkji xxxxfxxxxf ?????? ?如性，無關(guān)，稱為差商的對稱差商與所含節(jié)點(diǎn)的次序( 3 . 4 ) ],[],[],[ ( 3 )010110 xxxxfxxfxxxfkkkk ??? ????差商還可表示為( 3 . 5 ) ],[ ,!)(],[ , ,],[,)( )4()(010banfxxfnbaxxxxfnnn?? ?????使得點(diǎn)則在此區(qū)間內(nèi)至少有一階導(dǎo)數(shù)上具有的區(qū)間在含有如果 )1(?)2(?由 ()得差商表 : k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 ? 0 1 2 3 4 ┆ x0 x1 x2 x3 x4 ┆ f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) ┆ f[x0, x1] f[x1, x2] f[x0,x1,x2] f[x2, x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3] f[x3, x4] f[x2, x3,x4] f[x1,x2,x3,x4] ? ┆ ┆ ┆ : , 一種形式次代數(shù)插值多項(xiàng)式的另可推出由差商的定義 n??????????????????????],[)(],[],[],[)(],[],[],[)(],[],[],[)(][][0010210221010101100000nnnnxxxfxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf?????],[)())(( ],[)())(( ],[))((],[)(][)(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf??????????????????????],[)())(()( 1010 nnn xxxxfxxxxxxxE ?? ????],[)())(( ],[))((],[)(][)(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN??? ????????????).()()( xExNxf nn ?? ),()( ),()( ),0 ,1 ,()( xRxExLxNnifxN nnnniin ????? ?).,( ,)!1( )(],[ )1(0 banfxxxf nn ???????并有],[)(][)( 10001 xxfxxxfxN ???],[))(()()( 2101012 xxxfxxxxxNxN ????,?1 0 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , , ] .k k k kN x N x x x x x x x f x x x??? ? ? ? ?可估計誤差 . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1 插值多項(xiàng)式求四次牛頓時設(shè)當(dāng) ?? ii xfx練習(xí)k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 4 7 8 6 3 3 0 1 1 1/3 2 3/2 1/6 1/24 )()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1( 0)2)(1(3)1(1)(241314????????????????????xxxxxxxxxxxN112332248331294241 ????? xxxx 若增加數(shù)據(jù)點(diǎn) (6,10), 求五次牛頓插值多項(xiàng)式 ? k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 0 1 2 3 4 5 .)( )( 的近似值，估計誤差，計算求四次牛頓插值多項(xiàng)式的函數(shù)表，給定fxf例2P32例 4 ,)()(),)()()(( ))()(( ))(()()(44?????????????????NfxxxxxxxxxxxN做出差商表，得到],[)())(()( 4104104 xxxxfxxxxxxxR ?? ????.|)(],[||)(| 955104 ???? ?xxxfxR ?040 .5 9 6 ( ) 0 .6 3 1 9 2 , [ , , , ] .x f x f x x x??或 由 和 得 的 近 似 值*167。 2 拉格朗日插值 一、線性插值和拋物插值 對給定插值點(diǎn) ,求出形如 ( 1 . 2 ) )( )( 10 為實(shí)數(shù)其中 inn axaxaaxP ???? ?的插值多項(xiàng)式的方法有多種 . .幾何意義11 1 11 1 1 11 , [ , ]( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) .kkk k k kk k k kn x xy f x y f x L xL x y L x y??????????先 考 察 時 假 定 給 定 區(qū) 間 及 端 點(diǎn) 函 數(shù) 值要 求 線 性 插 值 多 項(xiàng) 式 ，滿 足 )()( 111 kkkkkk xxxxyyyxL ???????已有公式： )( 11111 ???????