【正文】 x f x H x x a bn? ???? ? ?? ? ? ??(4) 特例 : n=1是 , 即為前面介紹的兩節(jié)點 Hermite插值 . 例 1: 求不超過 3次的多項式 H (x)，使之滿足插值條件： ( 1 ) 9 , ( 1 ) 1 5 , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 1H H H H??? ? ? ? ? ? ? ?解 ： (1) 公式法 令 0 1 0 1 0 11 , 1 , 9 , 1 , 15 , 1x x y y m m? ? ? ? ? ? ? ? ?則 2 202 211 1 ( 2 ) ( 1 )( ) 1 2 ,1 1 1 1 41 1 ( 2 ) ( 1 )( ) 1 2 ,1 1 1 1 4x x x xxx x x xx??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?Hermite插值多項式的求法 1：（ 一般情形的 Hermite插值） (1) 直接利用公式； (2) 待定系數(shù)法； (3) 利用插商表。 6. 5 分段低次插值 一、龍格現(xiàn)象與分段線性插值 利用插值多項式逼近連續(xù)函數(shù)時 時 , 并非插值多項式的次數(shù)越高越好 . 因為當插值多項式的次數(shù)較高時 , 給自變量一個小的擾動 , 就可能引起函數(shù)值較大的變化 , 從而使得截斷誤差很大 . 這種現(xiàn)象稱為 龍格現(xiàn)象 . ()y f x?例如： 對于連續(xù)函數(shù) ，在區(qū)間 上取等距插 值節(jié)點 21()1fx x? ?[ 5,5]?101 , 0 , 1 , 2 , ,ix i i nn? ? ? ? ?當 n =10時 , 10次插值多項式 L10(x)以及函數(shù) f (x)的圖形見 P185 由此可見 , L10(x)的截斷誤差 R10(x)= f (x)L10(x)在區(qū)間 的 兩端非常大 . 這種現(xiàn)象稱為 Runge現(xiàn)象 . 不管 n 取多大 , Runge 現(xiàn)象依然存在 . 避免 Runge現(xiàn)象的方法之一就是采用分段低次 插值 . 最簡單的就是分段線性插值 . [ 5,5]?分段線性插值 Def： 設函數(shù) 個有序插值節(jié)點 滿足 稱之為區(qū)間 [a , b]的一個 劃分 。 牛頓插值 (Newton’s Interpolation) Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時， 全部基函數(shù) l i ( x ) 都需要重新計算。 當 n=2時：構造不超過 2 次的多項式 : 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )N x f x f x x x x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?易知 N2(x)滿足插值條件： 稱之為 2次 Newton插值多項式。 6. 6 Hermite 插值 分段線性插值簡單易操作 , 但插值曲線不光滑 , 即在內(nèi)節(jié)點處一節(jié)導數(shù)不連續(xù) , 這種情況往往不能滿足實際應用的需要 . 為了克服這一缺陷 , 通常添加一階導數(shù)作為插值條件 . 一、 兩個節(jié)點的情形： 設 x0 , x1為插值節(jié)點， x0 x1，且已知 在區(qū)間 [x0 , x1]上求多項式 H (x)，使得滿足插值條件 ( ) , ( ) 0 , 1k k k ky f x m f x k?? ? ?( ) , ( ) 0 , 1k k k kH x y H x m k?? ? ?由于有 4個條件，所以 H (x)應為次數(shù)不超過 3次的多項式，稱為 Hermite三次插值。 分段二次插值不能保證在 處的光滑性 。 x?插值基函數(shù)的性質 : 1,( ) , ( ) 0 , 0 , 10,1,( ) 0 , ( ) , 0 , 10,i k i ki k i kkix x i kkikix x i kki?????? ?? ? ???????? ? ????插值函數(shù)的唯一性： 設 H (x)和 都是滿足插值條件的不超過 3次的 Hermite插值多項式，則 是不超過 3次的多項式，且滿足 這說明 x0 和 x1 都是 P (x)的二重根，從而 P (x)為 4次多項式，這是不可能的。 等距節(jié)點插值公式 一、 差分的概念及性質 De f 1: 設 為等距節(jié)點 上的函數(shù)值 , 其中 稱為步長 , 則 ()iiy f x? 0 ( 0 , 1 , , )ix x ih i n? ? ?( ) /h b a n??和 11i i ii i iy y yy y y??? ? ?? ? ?分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長的一階向前差分和一階向后差分 . 21 2 121 1 222i i i i i ii i i i i iy y y y y yy y y y y y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?和 分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長的二階向前差分和二階向后差分 . 一般地 111111m m mi i im m mi i iy y yy y y??????? ? ? ? ?? ? ? ? ?和 分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長的 m 階向前差分和 m 階向后差分 . 稱為差分算子 . ,??差分的性質 Prop1: 各階差分可用函數(shù)值線性表示 , 其計算公式為 12 12 ( 1 ) ( 1 )m s s mi m i m m i m m i m m i s iy y C y C y C y y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中 為組合數(shù) , 即 smC ( 1 ) ( 1 )!smm m m sCs? ? ??Prop2: 差分與差商的關系 001[ , , , ] !!nnnn nnyyf x x xn h n h????Prop3: 差分與導數(shù)的關系 ()0 ()n n ny h f ??? ? 在 x0 與 xn 之間 () ()n n nny h f ??? ? 在 x0 與 xn 之間 23001 1 022 2 1 0233 3 2 1 0231 2 3 0ni i i i i inn n n n nx y y y y yxyx y yx y y yx y y y yx y y y y y? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ? ?向前差分表 二、等距節(jié)點插值 當插值節(jié)點 x0 ,…, xn 為等距分布時 , Newton插值公式可以簡化 . 給定等距節(jié)點 后 , 將差分與差商的關系式代入 Newton插值多項式 , 可得 0 ( 0 , 1 , , )ix x ih i n? ? ?2000 0 0 1200 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!( ) ( ) ( )!nnnnyyN x f x x x x x x xhhyx x x x x xnh???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?令 , 則有 0 ,0x x t h t? ? ?稱為 Newton前插多項式 , 或 Newton前插公式 . 20 0 0 0 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( )2 ! !nnt t t t t nN x t h f x t y y yn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?Newton前插公式的 余項 ( 1 )1 ( 1 )01( ) ( 1 ) ( )( ) ( ) ( )( 1 ) ! ( 1 ) !nnnnnf t t t nR x t h x h fnn? ??? ?????? ? ???類似地 , 如果要求 xn 附近的某點 x 的函數(shù)值 , 設 xn ?1 x xn , 記 x = xn + t h (?1 t 0), 則有 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( )2 ! !nn n n n n nt t t t t nN x t h f x t y y yn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?稱為 Newton 后插公式 . 其余項為 ( 1 )110()( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) !nnnn n nnfR x R x t h h t t t nnxx?????? ? ? ? ? ???? 注 : 若要計算的插值點 x 較靠近點 x0 , 則用向前插值公式 ,這時 t = (x ? x0)/n 的值較小 , 數(shù)值穩(wěn)定性較好 . 反之 , 若 x 靠近 xn , 則用向后插值公式 . 向前與向后差分的關系