【正文】 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x x y x y x m x m? ? ? ?? ? ? ?其中插值基函數(shù) 為三次多項(xiàng)式 0 1 0 1( ) , ( ) , ( ) , ( )x x x x? ? ? ?220 110 0 01 0 0 1 0 1220011 1 10 1 1 0 1 0( ) 1 2 , ( ) ( )( ) 1 2 , ( ) ( )xx x x x xx x x xx x x x x xx x x xxxx x x xx x x x x x????? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??如果 ，則插值余項(xiàng)為 401( ) [ , ]f x C x x?( 4 )220 1 0 1()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]4!xfR x f x H x x x x x x x x?? ? ? ? ? ? ?其中 在 x0 與 x1 之間。 ()Hx( ) ( ) ( )P x H x H x??( ) ( ) 0 , 0 , 1kkP x P x k?? ? ?二、 一般情形的 Hermite 插值（二重 Hermite 插值） 對(duì)于函數(shù) , 已知 f (x)在 [a , b]上 n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值 及導(dǎo)數(shù)值 , 求一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 2n+1次的多項(xiàng)式 H2n+1(x) , 使之滿足插值條件 : 1( ) [ , ]f x C a b?由于插值條件有 2n+2個(gè) , 所以插值多項(xiàng)式不超過(guò) 2n+1次 . 并 且易知這種插值多項(xiàng)式是存在唯一的 . ()iif x y? ()iif x m? ?插值基函數(shù) : 借助于 Lagrange插值基函數(shù) 2121( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , ,( ) ( )n k kn k kH x f x knH x f x??? ? ???? ? ?(1) 設(shè) 為次數(shù)不超過(guò) 2n+1 的多項(xiàng)式 , 且滿足 ( ) , ( ) ( 0 , 1 , , )jjx x j n?? ?( ) , ( ) 0( , 0 , 1 , , )( ) 0 , ( )j i i j j ij i j i i jxxi j nxx? ? ?? ? ???? ?????????(2) 210( ) [ ( ) ( ) ]nn k k k kkH x x y x m???????則 稱為插值節(jié)點(diǎn) 上的插值基函數(shù) . ( ) , ( ) ( 0 , 1 , , )jjx x j n?? ? 01, , , nx x x滿足插值條件 (1)的 Hermite插值多項(xiàng)式可寫成基函數(shù)的線性組合 由條件 (2), 顯然有 2 1 2 1( ) , ( ) ( 0 , 1 , 2 , , )n k k n k kH x y H x m k n?? ?? ? ?下面求滿足條件 (2)的基函數(shù) ( ) , ( ) ( 0 , 1 , , )jjx x j n?? ?由 ( ) 0 , ( ) 0 ( )j i j ix x i j?? ?? ? ?由條件 (2)知 , 在 x = xj 處有 令 , 這里 為待定常數(shù) . 2( ) ( ) [ ( ) ]j j j jx a x b l x? ?? ,jjab12 ( ) ( ) 0j j jj j j j j ja x ba a x b l x????? ?? ? ???解得 類似地 , 由 0012 ( ) 211 2 ( ) 1 2nj j jk jkkjnj j j j jk jkkja l xxxb x l x xxx?????? ? ? ???? ? ? ????于是 201( ) [ 1 2 ( ) ] ( ) 0 , 1 , ,nj j jk jkkjx x x l x j nxx???? ? ? ???( ) 0 , ( ) 0 ( )j i j ix x i j?? ?? ? ?令 , 這里 為待定常數(shù) . 2( ) ( ) [ ( ) ]j j j jx c x d l x? ?? ,jjcd由條件 (2)知 , 在 x = xj 處有 02( ) ( ) 1j j jj j j j j jc x dc c x d l x????? ?? ? ???解得 1,j j jc d x? ? ?因此 Hermite插值多項(xiàng)式為 : (2) 類似于 Lagrange插值余項(xiàng)的討論 , 有 Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng) 于是 2( ) ( ) ( ) ( 0 ,1 , , )j j jx x x l x j n? ? ? ?說(shuō)明 : (1) 類似于兩節(jié)點(diǎn)情形 , 可以得到一般情形 Hermite插值多項(xiàng)式的唯一性 . 22210 0 01[ 1 2 ( ) ] ( ) ( ) ( )n n nn j j j j j jj k jjkkjH x x l x y x x l x mxx?? ? ??? ? ? ? ??? ? ?(3) 幾何意義 : 曲線 y =H2n+1(x) 與 y = f (x) 在插值節(jié)點(diǎn)處有公共切線 . ( 2 2 )22 1 2 1 1()( ) ( ) ( ) ( ) , ( , )( 2 2 ) !nn n nfR x f x H x x a bn? ???? ? ?? ? ? ??(4) 特例 : n=1是 , 即為前面介紹的兩節(jié)點(diǎn) Hermite插值 . 例 1: 求不超過(guò) 3次的多項(xiàng)式 H (x)，使之滿足插值條件： ( 1 ) 9 , ( 1 ) 1 5 , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 1H H H H??? ? ? ? ? ? ? ?解 ： (1) 公式法 令 0 1 0 1 0 11 , 1 , 9 , 1 , 15 , 1x x y y m m? ? ? ? ? ? ? ? ?則 2 202 211 1 ( 2 ) ( 1 )( ) 1 2 ,1 1 1 1 41 1 ( 2 ) ( 1 )( ) 1 2 ,1 1 1 1 4x x x xxx x x xx??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?Hermite插值多項(xiàng)式的求法 1：（ 一般情形的 Hermite插值） (1) 直接利用公式； (2) 待定系數(shù)法； (3) 利用插商表。(x) m0 m1 求次數(shù)不高于 4 的多項(xiàng)式 H4(x) , 使之滿足 : 44( ) ( 0 , 1 , 2 )( ) ( 0 , 1 )iiiiH x y iH x m i???? ? ???Hermite插值多項(xiàng)式的求法 2: (特殊情形的 Hermite插值 ,即 插值條件中函數(shù)值個(gè)數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等 ) (1) 待定系數(shù)法 (Newton插值多項(xiàng)式或一般情形的 Hermite 插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) )； (2) 利用插商表 。其中插值基函數(shù)如下確定： ?22111 1 12211 1 11 1 1( ) 1 2 , ( ) ( )( ) 1 2 , ( ) ( )i i ii i ii i i i i ii i ii i ii i i i i ix x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x xx x x xx x x x x x??????? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??由定理 1可知， H3 ( x )滿足 邊界條件 ： 3 0 0 3 0 033( ) , ( )( ) , ( )n n n nH x y H x mH x y H x m? ????? ?????以及內(nèi)節(jié)點(diǎn)的銜接條件 : 3333( 0) ( 0) ,1 , 2 , , 1( 0) ( 0)i i ii i iH x H x yinH x H x m? ? ? ?????? ??? ? ? ???若 , 則有 ( 4 )4| ( ) | , [ , ]f x M x a b??443| ( ) | 384MR x h? 故 3 ( ) ( ) ( 0 )H x f x h??注 : 分段線性插值不能保證在插值節(jié)點(diǎn)處的光滑性 。 分段三次插值能夠保證插值節(jié)點(diǎn)處的光滑性 , 但在節(jié)點(diǎn)處的凹凸性 不能保證與 f (x) 相同 . ( 0 , 1 , , )ix i