【正文】 ?? ? ???????為了得到計算系數(shù) ci 的一般方法 ,下面引進 差商的概念 . ? 二、 差商 (亦稱均差 ) /* divided difference */ 010101( ) ( )[ , ] f x f xf x xxx???稱為 f (x)在 x0 , x1處的 1階差商 0 1 1 20 1 202[ , ] [ , ][ , , ] f x x f x xf x x xxx???稱為 f (x)在 x0 , x1 , x2 處的 2階差商 一般地， n 階差商： 0 1 1 1 2010[ , , , ] [ , , , ][ , , , ] nnnnf x x x f x x xf x x xxx? ???De f 2: 121212( ) ( )[ , ] f x f xf x xxx???稱為 f (x)在 x1 , x2 處的 1階差商 給定 [a , b]中互不相同的點 x0, x1, x2 ,…, 以及 f (x)在這些點處相應的函數(shù)值 f (x0) , f (x1) , f (x2) ,…, 則 差商的性質(zhì) : ? ?010 1(), , . . . ,()nini nifxf x x xx?? ?? ??性質(zhì) 1 (差商與函數(shù)值的關系 ) 證 : 歸納法 . 當 k=1時 , 有 0 1 0 1010 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ()[ , ] f x f x f x fxf x xx x x x x x?? ? ?? ? ?結(jié)論成立 . 設 k = m 1 時 , 結(jié)論成立 . 則有 10 1 10 0 1 1 1()[ , , , ]( ) ( ) ( ) ( )mjmj j j j j j j mfxf x x xx x x x x x x x??? ? ? ?? ? ? ? ??121 1 1 1()[ , , , ]( ) ( ) ( ) ( )mjmj j j j j j j mfxf x x xx x x x x x x x? ??? ? ? ? ??由差商的定義 , 當 k = m 時 , 有 0 1 1 1 202011 1 1 1 1 0000 1 0 1 1[ , , , ] [ , , , ][ , , , ]() 11( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( )1( ) ( ) ( )mmmmmjj j j j j j j m j j mmjmjm m m m m jf x x x f x x xf x x xxxfxx x x x x x x x x x x xfxf x f xx x x x x? ? ???? ? ? ??? ? ??????? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ????所以 k = m 時結(jié)論成立 , 由歸納假設知性質(zhì)成立 . 00, , , , , , , , , , , ,i j n j i nf x x x x f x x x x? ? ? ??? ? ? ?性質(zhì) 2 (對稱性 ): 差商的值與結(jié)點排列順序無關 . 在 n階差商中任意調(diào)整節(jié)點的順序 , 差商的值不變 . [ , ] [ , ]i j j if x x f x x?? ? ()01 (), , ..., !nn ff x x x n ??01( ) [ , ] , , , , [ , ] ,[ , ]nf x a b n x x x a bab???設 在 上 有 階 導 數(shù) 且則 存 在 使 得性質(zhì) 3 (差商與導數(shù)的關系 ) 提示 : 0 0 1 00 1 0 1 101( ) ( ) { ( ) [ , ] ( )[ , , , ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0nnng x f x f x f x x x xf x x x x x x x x xg x g x g x?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?反復應用 Rolle定理 . 性質(zhì) 4: (重節(jié)點差商 ) 若 f (x)在 xi 處具有 k 階導數(shù) , 則有 ()11[ , , , ] ( )!ki i i ikf x x x f xk??性質(zhì) 5: (線性性 ) 若 為常數(shù) , 則有 ( ) ( ) ( ) , ,F x f x g x? ? ? ???0 1 0 1 0 1[ , , , ] [ , , , ] [ , , , ]n n nF x x x f x x x g x x x????規(guī)定： 一個點 x0 的零階差商為 f (x0) . 例： 設 74( ) 3 25f x x x x? ? ? ?求 和 0 1 7[ 2 , 2 , , 2 ]f 0 1 8[ 2 , 2 , , 2 ]f差商表 xk f (xk) 一階差商 二階差商 三階差商 …… n 階差商 123onxxxxx1230[][]][[][]nfxfxfxffxx1220311[ , ][ , ][][ , ],nnf x xf x xxf x xfx?23102211[ , , ][ , ,[ , , ]]n n nf x x xfxfxxxxx?? 3 2 10 1 2 3[ , , , ][ , , , ]n n n nfxf x xxxxxx? ? ?01[ , , , ]nf x x x例 1： 已知信息 構(gòu)造 f (x) 的插商表。也就是說， Lagrange 插值不具有繼承性。167。 牛頓插值 (Newton’s Interpolation) Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時， 全部基函數(shù) l i ( x ) 都需要重新計算。 能否重新在 Pn中尋找新的 基函數(shù) ？ 希望每加一個節(jié)點時， 只在原有插值的基礎上附加部分計算量（或者說添加一項） 即可。 解： f (x) 的插商表如下： (0 ) 1 , ( 1 ) 5 , ( 2 ) 1f f f? ? ? ? ?011 5 42 1 2 1????xi f (xi) 一階 二階 例 2: f (x) 的插商表 1 0 2 xi f (xi) 一階 二階 三階 ? 三、 牛頓 (Newton)插值公式 當 n=1時：過兩點 和 的直線為 00( , ( ))x f x11( , ( ))x f x011 0 0 0 0 1 001( ) ( )( ) ( ) ( ) [ , ] ( )f x f xN x y x x f x f x x x xxx?? ? ? ? ? ??稱為 1次 Newton插值多項式。 2 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2iiN x f x i??推廣到一般情形 : 令 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 1 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , , ] ( ) ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?可證 Nn (x) 滿足插值條件： 稱之為 n 次 Newton插值多項式 . 或稱為 Newton插值公式 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , ,n i iN x f x i n?? 注： 由 Newton插值公式可以看出 , 每當增加一個結(jié)點時 , Newton插值多項式只在原有插值多項式的基礎上增加一項 , 克服了 Lagrange插值不具備繼承性的缺點 . ],[)()()( 000 xxfxxxfxf ???],[)(],[],[ 101100 xxxfxxxxfxxf ???],. . .,[)(],. . .,[],. . .,[ 0010 nnnn xxxfxxxxfxxxf ????1 2 … … … … n?1 1 + (x ? x0) ? 2 + … … + ( x ? x0)…( x ? xn?1) ? n?1 ...))(](,[)](,[)()( 102100100 ??????? xxxxxxxfxxxxfxfxf)) . . . (](,. . .,[ 100 ???? nn xxxxxxf))() . . . (](,...,[ 100 nnn xxxxxxxxxf ???? ?Nn(x) Rn(x) 差商推導 Newton插值 ： (利用差商的定義 ) Newton插值的余項： 由插值的唯一性或上述推導知 ( 1 )0 0 1()( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n n nfR x f x x x x x x x xn? ???? ? ? ? ?例 3: 給定 f (x)=ln x的數(shù)據(jù)表 xi f (xi) 1. 構(gòu)造差商表 2. 分別寫出二次 、 四次 Newton插值多項式 解 : 差商表 2 .2 02 .4 0 0 .8 7 5 4 72 .6 0 0 .9 5 5 5 1 0 .4 0 0 1 02 .8 0