【正文】 ???????????????差商與差分關(guān)系，如：）（一般地， .!1],[ kmmmkk fhmxxf ????）（ .!1],[ kmmmkk fhmxxf ??? ??）（以及 ).,(),( )( nkknnkn xxfhf ???? ??差分表 : ?2f0 ?2f1 ? ┆ ?2f2 ┆ ┆ ?f0 ?f1 ?f2 ?f3 ┆ f0 f1 f2 f3 f4 ┆ 0 1 2 3 4 ┆ ?2 ?3 ? ? fk k )(?)( 1f?)( 2f?)( 3f?)( 4f?)( 2? )( 3?)( 22 f?)( 32 f?)( 42 f?)( 3303 ff ??)( 4313 ff ??)( 4404 ff ??)( 44 ??( 4 . 1 1 ) ),( ),()!1( )()1()( 0)1(1 nnnn ,xxfhn ntttxR ?? ??? ?? ???時(shí)，當(dāng)函數(shù)值上的個(gè)等距節(jié)點(diǎn)在已知)10( ,)(),1,0(1)(00?????????tthxxfxfniihxxnxfiii ?二、等距節(jié)點(diǎn)插值公式 ,)()1()()( 101???????? ? kkj jkhktttxxx ??],[)())(( ],[))((],[)(][)(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN????????????????,!1],[ kmmmkk fhmxxf ????( 4 . 1 0 ) . ,!)1()1(!2)1()( 002022牛頓前插公式fnntttfttftfthxN nn ???????????????P34 ],[)())(( ],[))(( ],[)(][)(,0111211101xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNxxxnnnnnnnnnnnnnnnn??????????????????????則次序?yàn)樵谂ｎD插值公式中節(jié)點(diǎn)( 4 . 1 3 ) ),( ),()!1( )()1()( 0)1(1 nnnn ,xxfhn ntttxR ?? ???? ?? ???( 4 . 1 2 ) ,!)1()1(!2)1()(,)01(2nnnnnnnnfnntttfttftfthxNtthxx????????????????????時(shí)當(dāng)],[)())(()( 0101 xxxxfxxxxxxxR nnnnn ??? ?? ????. )(|)()(|!5| i n|)(.)(7544?????????????RN插公式得到做出差商表，用牛頓前.)()( ,6,1,0,c o s)( 近似值，并計(jì)誤差的及算用四次等距插值公式計(jì)函數(shù)值，處的的在給出ffhkkhxxxf k ???? ?例3. )(|)()(|!5| i n|)(.)(7544????????????????RN用牛頓后插公式得到，167。 211)(xxf ??二、分段線性插值 所謂分段線性插值就是用通過插值點(diǎn)的折線段逼近 f(x). .)(,],[)( ( 3 ) ,1,0,)( ( 2 ) ],[)( ( 1 ) )(,m a x , ,11010分段線性函數(shù)xIxxxInkfxIbaCxIxIhhxxhffbxxxahkkhkkhhhkkkkknn則稱上是線性函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間滿足求折線函數(shù)記上的函數(shù)值已知節(jié)點(diǎn)????????????????解決 : 方法一、采用分段低次插值 方法二、在各節(jié)點(diǎn)處不僅給出其函數(shù)值，還給出其各階導(dǎo) 數(shù)值，即分段 Hermite插值法。 7 樣條插值 問題背景 ? .,)(, 2)。 f(x) H(x) S(x) 三次樣條插值的算法步驟： ① 計(jì)算 ?j , ? j , gj 。 由該區(qū)間上的 S[j](x) 算出 f(x) 的近似值。 ? Spline：分段低次 , 自身光滑 , f 的導(dǎo)數(shù)只在邊界給出。 ? Newton ? Ln(x)， 只是形式不同；節(jié)點(diǎn)等距或漸增節(jié)點(diǎn)時(shí)方便處理。 ③ 寫出樣條函數(shù) S(x)。 “ matlab中的 spline(x,y)” 二、三次樣條插值函數(shù)的建立 .用三彎矩法和三轉(zhuǎn)角法求三次樣條插值函數(shù)常( 7 .6 ) ],)()([)( 0????njjjjj xmxfxs ??.,數(shù)，得到三次樣條插值函對角方程組，求出的三，可得關(guān)于連續(xù)性條件和邊界條件由插值條件jjmm埃爾米特插值多項(xiàng)式，根據(jù)分段三次三轉(zhuǎn)角法：假定 ,),0()( njmxs jj ????. ,0,)( 1 jjjjj xxhnjMxs ?????? ??三彎矩法：令）（則 ].,[ ,)( 111 ??? ??????? jjjjjjjj xxxMhxxMhxxxsP42 ,2)(2)()(11221 cMhxxMhxxxsjjjjjj ????????? ,6)(6)()(211331 cxcMhxxMhxxxsjjjjjj ????????,61)( ,61)( 1211121212 ???? ???????? jjjjjjjjjj ycxcMhxsycxcMhxs.)(61),(61 11112111 ?????? ???????? jjjjjjjjjjjjjjjj MxMxhhxyxycMMhhyyc)( ,)6()6( 6)(6)()(211121331jjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxs???????????????jjjjjjjjjjjj hMMhyyMhxxMhxxxs62)(2)()( 111221 ?????????? ????)0()0(: , 0 ????? jjn xsxsMM 要用導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件為了求 ?,63)0( 11jjjjjjjjhyyMhMhxs ??????? ??,36)0( 111jjjjjjjjhyyMhMhxs ?????? ???,1,1 ,6361111111 ???????????????? njhyyhyyMhMhhMhjjjjjjjjjjjjj ?.36)0( 11111????? ??????jjjjjjjjhyyMhMhxs].,[6, ,1,1 ,2 1111111?????????????????jjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxfdhhhhhhnjdMMM????其中?00001010000110000:)(6263)0(dfhyyhMMfhyyMhMhxs???????????????nnnnnnnn dhyyfhMM :)(62 1111 ??????????在第一邊界條件下：nnnnnnnnn fhyyMhMhxs ?????????????1111136)0()( ,2122121101101111?????????????????????????????????????????????????????nnnnnnddddMMMM?????????.,00 nn fMfM ??????在第二邊界條件下：)( ,222211220111221122221????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnfdddfdMMMM?????????????].,[6,2 )()(11010