【正文】 ? 引言 ? 拉格朗日插值 ? 差商與牛頓插值 ? 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 * ? 埃爾米特插值 ? 分段低次插值 ? 樣條插值 第 5章 插值法 167。 1 引 言 一、問(wèn)題背景 ? )( xfy ?),1,0( )( nixfy ii ???),1,0( )()( )( nixfxPxP ii ???，滿(mǎn)足求簡(jiǎn)單應(yīng)用：例如程控加工機(jī)械零件等。 二、一般概念 若存在一個(gè)上的函數(shù)值且已知它在點(diǎn)上有定義在區(qū)間設(shè)函數(shù) ., ,],[)(1010 nn yyybxxxabaxfy?? ??????.,)()(( 1 . 1 ) ),1,0( )( )(10 插值節(jié)點(diǎn)插值函數(shù) 為，點(diǎn)的為則稱(chēng)，滿(mǎn)足條件簡(jiǎn)單函數(shù)niixxxxfxPniyxPxP???? .)(( 1 . 2 ) )( )( )(10插值多項(xiàng)式為則稱(chēng)為實(shí)數(shù)其中的代數(shù)多項(xiàng)式是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)若xPaxaxaaxPnxPinn???? ?.?? 三角插值分段插值 ；三、幾何意義 本章：求出插值多項(xiàng)式 , 分段插值函數(shù) , 樣條插值函數(shù)； 討論 P(x)的存在唯一性、收斂性及誤差估計(jì) . , ( 2 . 6 )( ) .nnnnHxH ?在 次 數(shù) 不 超 過(guò) 的 多 項(xiàng) 式 集 合 中 滿(mǎn) 足 條 件的 插 值 多 項(xiàng) 式 P 是 存 在 唯 一 的定 理 1nnn xaxaaxp ???? ?10)(???????????????????nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa. . .. . . . . .. . .. . .101111000010nnnnnnxxxxxxxxxV???????111),(110010?? ??????niijji xx010)(證明 : 設(shè) 將節(jié)點(diǎn)代入 : 四、插值多項(xiàng)式的存在唯一性 0),( 10 ?nxxxV ?由于節(jié)點(diǎn)互異 : )(0 jixxji ???方程組有且只有唯一解 . 167。 2 拉格朗日插值 一、線(xiàn)性插值和拋物插值 對(duì)給定插值點(diǎn) ,求出形如 ( 1 . 2 ) )( )( 10 為實(shí)數(shù)其中 inn axaxaaxP ???? ?的插值多項(xiàng)式的方法有多種 . .幾何意義11 1 11 1 1 11 , [ , ]( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) .kkk k k kk k k kn x xy f x y f x L xL x y L x y??????????先 考 察 時(shí) 假 定 給 定 區(qū) 間 及 端 點(diǎn) 函 數(shù) 值要 求 線(xiàn) 性 插 值 多 項(xiàng) 式 ，滿(mǎn) 足 )()( 111 kkkkkk xxxxyyyxL ???????已有公式： )( 11111 ??????????kkkkkkkk yxxxxyxxxxxL ( 2 . 3 ) ),()()( 2 . 2 )( ,)( 1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk??????????????則所求線(xiàn)性插值多項(xiàng)式）（令 ( 2 . 3 ) ),()()( 2 . 2 )( ,)( 1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk??????????????則所求線(xiàn)性插值多項(xiàng)式）（令.1,)(0)( 0)(1)( )()(11111線(xiàn)性插值基函數(shù)稱(chēng)為，，并滿(mǎn)足也是線(xiàn)性插值多項(xiàng)式，和其中?????????kkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxl.幾何意義.)( ,)( ,)( )(, ,21122112211??????????kkkkkkkkkyxLyxLyxLxLxxxn，滿(mǎn)足二次插值多項(xiàng)式，要求假定給定插值節(jié)點(diǎn)時(shí)再考察( 2 . 4 ) 1.)(0)(0)( 0,)(1)(0)( 0)(0)(1)( )()(),(11111111111111????????????????????????????kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxl，，，，并滿(mǎn)足是二次函數(shù)，和采用基函數(shù)法，基函數(shù)??111 1 1( ) ( ) ( ) .( ) ( )kkkk k k kx x x xlxx x x x??? ? ?????? 同理 .))(())(()( ,))(())(()( 111111111kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl???????????????????.幾何圖示 ( 2 . 5 ) ),()()()( 11112 xlyxlyxlyxL kkkkkk ???? ???項(xiàng)式于是，所求二次插值多. ))(())(( ))(())(( ))(())(()( ,111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL?????????????????????????????也就是( 2 .7 ) ),1,0,( ,1 ,0)( ),(nkikikixlxlnikk????????滿(mǎn)足次個(gè)仍采用基函數(shù)法，求一 插值基函數(shù) ),())(()()( 110 nkkkk xxxxxxxxAxl ????? ?? ??可知二、拉格朗日插值多項(xiàng)式 ( 2 .6 ) ).,1,0( ,)( )(1 10niyxLxLnxxxniinnn????????，滿(mǎn)足次插值多項(xiàng)式要求，個(gè)插值節(jié)點(diǎn)對(duì)于給定的一般情況， ),())(()()( 110 nkkkk xxxxxxxxAxl ????? ?? ??可知( 2 . 8 ) ),1,0( )())(()()())(()()( ,1)(110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxlAxlnkkkkkknkkkkkk????????????????????于是得到由 ).(,),(),(1,11010xlxlxlnnxxxnnn?? 朗日基函數(shù)拉格次個(gè)上的個(gè)節(jié)點(diǎn)從而得到在 ??.)(( 2 . 9 ) )( )( 0拉格朗日插值多項(xiàng)式次稱(chēng)為次插值多項(xiàng)式于是，所求nxLxlyxLnnnkkkn ???( 2 . 8 ) ),1,0( )())(()()())(()()( ,0110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkjj jkjnkkkkkknkkk?????????????????????????也就是( 2 . 1 0 ) )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ??引入記號(hào))())(()()( 1101 nkkkkkkkn xxxxxxxxx ?????? ??? ???則得( 2 . 1 1 ) )()()( )( 0 11?? ?????nk knknkn xxxxyxL??于是.,0 , 1 , ,)( ,10nmxxlx mnkkmk ?????得由定理1)(0???nkk xl 由插值多項(xiàng)式的存在唯一性 取 m=0得： 練習(xí) 給定數(shù)據(jù)表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14 求三次拉格朗日插值多項(xiàng)式 L3(x). 123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10??????????????????? xxxxxxxxx)(14)(5)(1)(0)(32103 xlxlxlxlxLn????????? 解 并代入數(shù)據(jù)表值得）中，?。涸冢?.12)(1(616 )132( 2?????? xxxxxx0 1 100 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )njk k nkjk k k k k k n k jjkxxx x x x x x x xlx x x x