【正文】 ?則得( 2 . 1 1 ) )()()( )( 0 11?? ?????nk knknkn xxxxyxL??于是.,0 , 1 , ,)( ,10nmxxlx mnkkmk ?????得由定理1)(0???nkk xl 由插值多項式的存在唯一性 取 m=0得： 練習(xí) 給定數(shù)據(jù)表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14 求三次拉格朗日插值多項式 L3(x). 123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10??????????????????? xxxxxxxxx)(14)(5)(1)(0)(32103 xlxlxlxlxLn????????? 解 并代入數(shù)據(jù)表值得）中，?。涸冢?.12)(1(616 )132( 2?????? xxxxxx0 1 100 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )njk k nkjk k k k k k n k jjkxxx x x x x x x xlx x x x x x x x x x???????? ? ? ???? ? ? ? ??思考 : 進一步求函數(shù) x= ? 思考 : 誤差估計 ? ))(()()( 3 ?????? Lf. ),(( 2 . 1 4 ) ,)()!1()()()()( ],[ ,)( 2 . 61)()( ,),()( ,],[)( 0)1(10)1()(xbaxxnfxLxfxRbaxbxxxanxfxLbaxfbaxfnjjnnnnnnn且依賴于其中插值余項則對于任何的插值多項式足條件上的滿個節(jié)點在是內(nèi)存在在設(shè)上連續(xù)在設(shè)????????????????????定理2三、插值余項與誤差估計 ( 2 . 1 6 ) |,)(|)!1(|)(| ,|)(|ma x1n11)1(xnMxRMxfnnnnbxa??????????則若 證明： P26 ( 2 . 1 7 ) ],[ ),)(()(21)()(21)( ,1101021xxxxxxfxfxRn??????????????線性插值余項時當(dāng)( 2 . 1 8 ) ],[ ),)()(()(61)( ,2202102 xxxxxxxxfxRn???????????拋物插值余項時當(dāng)例 1 已知 =, =, = ,用線性插值計算和 拋物插值計算 , 并估計誤差 . 0 . 3 3 0 3 6 5 . )()( i n 0010101?????????xxxyyyL解： |,))((|2|)(| 1021 xxxxMxR ???. . 3 3 3 521|)(|, i n|)(|m a x511220??????????????RxxfMxxx例 1 已知 =, =, = ,用拋物插值計算 , 并估計誤差 . 02122 0 10 1 0 2 1 0 1 20122 0 2 12( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) sin 367 ( 367 ) 303 65.x x x xx x x xL x y yx x x x x x x xx x x xyx x x xL??????? ? ? ??????? ? ?解 ：. . 8 2 861|)(|,)c o s ( |,))()((|6|)(|620321032??????????????RxMxxxxxxMxR167。 5 Hermite插值 .He r mi t e ,) 插值問題埃爾米特( .種插值問題稱為這相等導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值在某些節(jié)點上對應(yīng)的的而且要求在節(jié)點上函數(shù)值相等不少插值問題不僅要求( 5 . 1 ) .,1,0 ,)( ,)( )(12 ,1,0,)()(112121210nifxHfxHxHnnifxffxfbxxxaniiniinniiiin??????????????????????? 滿足次的多項式超過要求一個次數(shù)不和上已知個節(jié)點著重討論一種情況：在次多項式，且滿足是都和函數(shù)采用基函數(shù)法，插值基12),1,0)(()(??nnjxx jj ???( 5 .2 ) ),1,0,( .)( ,0)( 。 方法三、采用分段光滑插值，即樣條插值。3],[ )1:)( 10110三次樣條函數(shù)定義4上的是節(jié)點則稱直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)在每一個內(nèi)節(jié)點上具有次的多項式是一個次數(shù)不超過在每個小區(qū)間滿足函數(shù)，若存在對于給定節(jié)點njjnxxxxsxxxsbxxxa????????一、樣條插值的概念 .)(7 . 1 ,0,)( )3),0()(三次樣條插值函數(shù)是則稱）（并滿足若在節(jié)點上給定函數(shù)值xsnjyxsnjyxfjjjj??????:)( 的確定三次樣條插值函數(shù) xs??????????? .),(,),()(1101nnn xxxxsxxxxsxs ?.44],[ 1 個參數(shù)個待定系數(shù)，共上要確定在每個 nxx jj ?）（上滿足連續(xù)性條件內(nèi)節(jié)點因二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故在7 . 2 )1,1( ).0()0( ),0()0(),0()0( ?????????????????njxsxsxsxsxsxsxjjjjjjj?.24 個條件再加上插值條件，共 ?n.2 邊界條件點加上個條件，通常在兩個端還需:常見三種邊界條件.)(,)(: 00 nn yxsyxs ??????第一種邊界條件.)(,)(: 00 nn yxsyxs ??????????第二種邊界條件.0)(,0)(:, 0 ?????? nxsxs自然邊界條件特別地.)0()0( ,).0()0( ),0()0( :0000已經(jīng)成立故注意：因插值條件邊界條件）第三種邊界條件（周期????????????????nnnnxsxsyyxsxsxsxs其它邊界條件 : “ 非扭結(jié) ” 邊界條件，即第一、第二段多 項式的三次項系數(shù)相同，最后一段和倒數(shù)第二段三 次項的系數(shù)相同。 ② 計算 Mj (追趕法等 ) 。 .)(,)(, ,]30,[)( 5 032103210插值函數(shù)的三次樣條試求滿足邊界條件，在節(jié)點上的函數(shù)值：上有定義在設(shè)?????????????nxsxsffffxxxxxf例題.]),[(6,7 0 0 0 ],[6,],[6,)(20)],[(6,21,1310,21 ,133 3232332122101010002121121001????????????????????????????xxffhdxxxfdxxxfdfxxfhdhhhhhh????：解., 7 0 0 0 0 0 0 212212 210321021211310133???????????????????????????????????????????????nMMMMMMMM得到 ,)6()6( 6)(6)()( :)( 211121331jjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxs???????????????代入????????????????????????????????????],30,29[ ),29()29()30()30(],29,28[ ),28()28()29()29(],28,[ ),()()28()28()( 333333xxxxxxxxxxxxxxxxS得到三、誤差界與收斂性 .83,241,3845( 7 . 1 7 ) .2,1,0 ,|)(|ma x|)()(|ma x),1,1,0(,ma x ,)( ,],[)( 42104)4()()(1104?????????????????????CCCkhxfCxsxfnixxhhhxSbaCxfkbxakkkbxaiiiini其中則有估計式令件滿足第一或第二邊界條設(shè)?定理插值法小結(jié) ? Lagrange : 給出 y0 … yn，選基函數(shù) li(x)，其次數(shù)為 節(jié)點數(shù) –1。