【正文】 xxx例 1 已知 =, =, = ,用拋物插值計算 , 并估計誤差 . 02122 0 10 1 0 2 1 0 1 20122 0 2 12( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) sin 367 ( 367 ) 303 65.x x x xx x x xL x y yx x x x x x x xx x x xyx x x xL??????? ? ? ??????? ? ?解 ：. . 8 2 861|)(|,)c o s ( |,))()((|6|)(|620321032??????????????RxMxxxxxxMxR167。 方法四、采用有理逼近。 ? Spline：分段低次 , 自身光滑 , f 的導數(shù)只在邊界給出。 211)(xxf ??二、分段線性插值 所謂分段線性插值就是用通過插值點的折線段逼近 f(x). .)(,],[)( ( 3 ) ,1,0,)( ( 2 ) ],[)( ( 1 ) )(,m a x , ,11010分段線性函數(shù)xIxxxInkfxIbaCxIxIhhxxhffbxxxahkkhkkhhhkkkkknn則稱上是線性函數(shù)在每個小區(qū)間滿足求折線函數(shù)記上的函數(shù)值已知節(jié)點????????????????解決 : 方法一、采用分段低次插值 方法二、在各節(jié)點處不僅給出其函數(shù)值，還給出其各階導 數(shù)值，即分段 Hermite插值法。 4 差分與等距節(jié)點插值 .,4 . 3 )( , : 4 . 2 )( , : 4 . 1 )( , : . ,)(),1,0(1)(2121110向后和中心差分算子分別稱為向前和中心差分向后差分向前差分為常數(shù)，稱為步長這里函數(shù)值上的個等距節(jié)點在已知????????????????????kkkkkkkkkiiiffffffffΔfhfxfniihxxnxf定義3?上節(jié)討論任意分布節(jié)點的插值公式，應用時常碰到等距節(jié)點的情形，此時插值公式可簡化，為此先介紹差分． 一、差分及其性質(zhì) .2 1212 kkkkkk ffffff ???????? ???階差分利用一階差分可定義二 . 。 ④ 找到 x 所在區(qū)間 ( 即找到相應的 j ) 。 注： 三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于 S(x)自身光滑 ，不需要知道 f 的導數(shù)值（除了在 2個端點可能需要）；而 Hermite插值依賴于 f 在所有插值點的導數(shù)值。 1 引 言 一、問題背景 ? )( xfy ?),1,0( )( nixfy ii ???),1,0( )()( )( nixfxPxP ii ???，滿足求簡單應用：例如程控加工機械零件等。 7 樣條插值 問題背景 ? .,)(, 2)。 ? Newton ? Ln(x)， 只是形式不同；節(jié)點等距或漸增節(jié)點時方便處理。0)( ,)( nkjxxxxjkkjkjkjjkkj ????????????????? ( 5 .3 ) . )]()([)(012 ??? ???njjjjjn xfxfxH ?? ),()()( 2 xlbaxx jj ???令( 5 .4 ) ).(1)(21)( 20xlxxxxx jnjkk kjjj??????????????? ???? ),()()( 2 xlxxAx jjj ???令( 5 . 5 ) ).()()( 2 xlxxx jjj ??? ? 1)(0 kjnjkkjj xxxl ??? ???. ),(( 5 . 6 ) ),()!22()()()()( ),(22),()(2)22(12)22(1xbaxnfxHxfxRxfnbaxfnnnn且依賴于其中插值余項為則階導數(shù)內(nèi)有在插值區(qū)間若?????????????. )()()(1)(21 )]()([)(0 0220012? ???? ?????????????????????????njnjjjjjjnjkk kjjnjjjjjnfxlxxfxlxxxxxfxfxH ??爾米特插值多項式：時，應用廣泛的三次埃當 1?n .)()( 2121)(12010102101012010101021010103fxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxH?????????????????????????????????????????????????????????? ).,( ,)()(!4)( )()()( 102120)4(33xxxxxxfxHxfxR????????余項為P38 .)()(),()(),()(),()( ,],[)( 11221100的插值多項式及其余項試求滿足條件上有四階連續(xù)導數(shù)在若xfxHxfxHxfxHxfxHbaxf??????例4另一類三次 Hermite插值多項式見 P36. .)()(),()(),()( ,],[)( 001100的插值多項式及其余項試求滿足條件上有三階連續(xù)導數(shù)在若xfxHxfxHxfxHbaxf?????練習).)((],[)()()( ))(()()( ),()(),()( 1010001011100xxxxAxxfxxxfxHxxxxAxNxHxfxHxfxH????????????即，可設由條件解.)(],[ ),()(0101000xxxfxxfAxfxH??????? 可得再由條件得到余項構輔 ?),())(()()()( 120 xtxtxKtHtftg ?????).()(6 )()()()( 120 xxxxfxHxfxR ???????? ?上講內(nèi)容小結 關 關 關 167。 5 Hermite插值 .He r mi t e ,) 插值問題埃爾米特( .種插值問題稱為這相等導數(shù)值甚至高階導數(shù)值在某些節(jié)點上對應的的而且要求在節(jié)點上函數(shù)值相等不少插值問題不僅要求( 5 . 1 ) .,1,0 ,)( ,)( )(12 ,1,0,)()(112121210nifxHfxHxHnnifxffxfbxxxaniiniinniiiin??????????????????????? 滿足次的多項式超過要求一個次數(shù)不和上已知個節(jié)點著重討論一種情況：在次多項式，且滿足是都和函數(shù)采用基函數(shù)法，插值基12),1,0)(()(??nnjxx jj ???( 5 .2 ) ),1,0,( .)( ,0)( 。 .)(,)(, ,]30,[)( 5 032103210插值函數(shù)的三次樣條試求滿足邊界條件，在節(jié)點上的函數(shù)值：上有定義在設?????????????nxsxsffffxxxxxf例題.]),[(6,7 0 0 0 ],[6,],[6,)(20)],[(6,21,1310,21 ,133 3232332122101010002121121001????????????????????????????xxffhdxxxfdxxxfdfxxfhdhhhhhh????：解., 7 0 0 0 0 0 0 212212 210321021211310133???????????????????????????????????????????????nMMMMMMMM得到 ,)6()6( 6)(6)()( :)( 211121331jjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxs???????????????代入????????????????????????????????????],30,29[ ),29()29()30()30(],29,28[ ),28()28()29()29(],28,[ ),()()28()28()( 333333xxxxxxxxxxxxxxxxS得到三、誤差界與收斂性 .