【正文】 ????????????????njxsxsxsxsxsxsxjjjjjjj?.24 個條件再加上插值條件，共 ?n.2 邊界條件點加上個條件，通常在兩個端還需:常見三種邊界條件.)(,)(: 00 nn yxsyxs ??????第一種邊界條件.)(,)(: 00 nn yxsyxs ??????????第二種邊界條件.0)(,0)(:, 0 ?????? nxsxs自然邊界條件特別地.)0()0( ,).0()0( ),0()0( :0000已經(jīng)成立故注意：因插值條件邊界條件）第三種邊界條件（周期????????????????nnnnxsxsyyxsxsxsxs其它邊界條件 : “ 非扭結(jié) ” 邊界條件，即第一、第二段多 項式的三次項系數(shù)相同，最后一段和倒數(shù)第二段三 次項的系數(shù)相同。 “ matlab中的 spline(x,y)” 二、三次樣條插值函數(shù)的建立 .用三彎矩法和三轉(zhuǎn)角法求三次樣條插值函數(shù)常( 7 .6 ) ],)()([)( 0????njjjjj xmxfxs ??.,數(shù)，得到三次樣條插值函對角方程組，求出的三，可得關(guān)于連續(xù)性條件和邊界條件由插值條件jjmm埃爾米特插值多項式，根據(jù)分段三次三轉(zhuǎn)角法：假定 ,),0()( njmxs jj ????. ,0,)( 1 jjjjj xxhnjMxs ?????? ??三彎矩法：令）（則 ].,[ ,)( 111 ??? ??????? jjjjjjjj xxxMhxxMhxxxsP42 ,2)(2)()(11221 cMhxxMhxxxsjjjjjj ????????? ,6)(6)()(211331 cxcMhxxMhxxxsjjjjjj ????????,61)( ,61)( 1211121212 ???? ???????? jjjjjjjjjj ycxcMhxsycxcMhxs.)(61),(61 11112111 ?????? ???????? jjjjjjjjjjjjjjjj MxMxhhxyxycMMhhyyc)( ,)6()6( 6)(6)()(211121331jjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxs???????????????jjjjjjjjjjjj hMMhyyMhxxMhxxxs62)(2)()( 111221 ?????????? ????)0()0(: , 0 ????? jjn xsxsMM 要用導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件為了求 ?,63)0( 11jjjjjjjjhyyMhMhxs ??????? ??,36)0( 111jjjjjjjjhyyMhMhxs ?????? ???,1,1 ,6361111111 ???????????????? njhyyhyyMhMhhMhjjjjjjjjjjjjj ?.36)0( 11111????? ??????jjjjjjjjhyyMhMhxs].,[6, ,1,1 ,2 1111111?????????????????jjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxfdhhhhhhnjdMMM????其中?00001010000110000:)(6263)0(dfhyyhMMfhyyMhMhxs???????????????nnnnnnnn dhyyfhMM :)(62 1111 ??????????在第一邊界條件下：nnnnnnnnn fhyyMhMhxs ?????????????1111136)0()( ,2122121101101111?????????????????????????????????????????????????????nnnnnnddddMMMM?????????.,00 nn fMfM ??????在第二邊界條件下：)( ,222211220111221122221????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnfdddfdMMMM?????????????].,[6,2 )()(110100111100xxxfdhhhhhhdMMMMMxSxSnnnnnnnnnnnnnnn???????????????????其中，并且，就有意在第三邊界條件下：注)( ,2222121121112211?????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnddddMMMM?????????????系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，方程組有唯一解。 注： 三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于 S(x)自身光滑 ，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在 2個端點可能需要）；而 Hermite插值依賴于 f 在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。 f(x) H(x) S(x) 三次樣條插值的算法步驟： ① 計算 ?j , ? j , gj 。 ② 計算 Mj (追趕法等 ) 。 ③ 寫出樣條函數(shù) S(x)。 ④ 找到 x 所在區(qū)間 ( 即找到相應(yīng)的 j ) 。 由該區(qū)間上的 S[j](x) 算出 f(x) 的近似值。 .)(,)(, ,]30,[)( 5 032103210插值函數(shù)的三次樣條試求滿足邊界條件，，，，在節(jié)點上的函數(shù)值：上有定義在設(shè)?????????????nxsxsffffxxxxxf例題.]),[(6,7 0 0 0 ],[6,],[6,)(20)],[(6,21,1310,21 ,133 3232332122101010002121121001????????????????????????????xxffhdxxxfdxxxfdfxxfhdhhhhhh????：解., 7 0 0 0 0 0 0 212212 210321021211310133???????????????????????????????????????????????nMMMMMMMM得到 ,)6()6( 6)(6)()( :)( 211121331jjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxs???????????????代入????????????????????????????????????],30,29[ ),29()29()30()30(],29,28[ ),28()28()29()29(],28,[ ),()()28()28()( 333333xxxxxxxxxxxxxxxxS得到三、誤差界與收斂性 .83,241,3845( 7 . 1 7 ) .2,1,0 ,|)(|ma x|)()(|ma x),1,1,0(,ma x ,)( ,],[)( 42104)4()()(1104?????????????????????CCCkhxfCxsxfnixxhhhxSbaCxfkbxakkkbxaiiiini其中則有估計式令件滿足第一或第二邊界條設(shè)?定理插值法小結(jié) ? Lagrange : 給出 y0 … yn，選基函數(shù) li(x)，其次數(shù)為 節(jié)點數(shù) –1。 ? Newton ? Ln(x)， 只是形式不同；節(jié)點等距或漸增節(jié)點時方便處理。 ? Hermite： 給出 yi 及 yi ’，選 hi(x) 及 hi(x) 。 ? Spline：分段低次 , 自身光滑 , f 的導(dǎo)數(shù)只在邊界給出。 ?