【正文】 ii i i ih y y y yfh h h h? ? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ??則有方程組 112 , 1 , 2 , .. ., 1i i i i i im m m f i n????? ? ? ? ?Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 邊界條件 1 （壓緊樣條） ： 00( ) , ( )nnS x m S x m?? ?? 已知，因此方程組為： 1 1 011222222 221 1 1 12222nn nnn n n n nfmmmfmfm f m??????? ??? ??? ? ? ???????????????????????? ??????????????? ??? ?? ??該方程組為三對(duì)角方程組，可以利用追趕法求解。 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 邊界條件 2( 端點(diǎn)曲率調(diào)整樣條 ) ：00( ) , ( )nnS x M S x M?? ????已知。 利用這兩個(gè)條件，可以得到兩個(gè)方程 10 1 1 0 0 011132 ( )232 ( )2nn n n n n nnhm m y y M fhhm m y y M fh??? ? ? ? ?? ? ? ? ? 因此，此邊界條件下的三對(duì)角方程組為： 001111222211 112122212nn nnnnmfmfmfmfmf???????? ??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 邊界條件 3 （自然樣條） :0( ) ( ) 0nS x S x?? ????已知。 只需要在端點(diǎn)曲率調(diào)整的三對(duì)角方程組中將0 , nMM均設(shè)置為 0 即可。 對(duì)于其它邊界條件，可以利用1 ( ) , ( )nS x S x滿(mǎn)足的條件推導(dǎo)相應(yīng)的三彎矩方程組。 第三步 ：將求得的 im 代入每個(gè) ()iSx ，可得到相應(yīng)的三次樣條插值函數(shù)。 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 用節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù) 若已知iM，則 ()Sx 在1[ , ] , 1 , 2, .. .,iix x i n? ?上是關(guān)于 x 的線(xiàn)性函數(shù)，因此構(gòu)造以節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)可以分為以下 三步 ： 【 St ep1 】 ：推導(dǎo) ()Sx 用iM表示的形式； 【 St ep2 】 ：導(dǎo)出含iM的 n+ 1 階的線(xiàn)性方程組； 【 St ep3 】 ：求解方程組并回代入 ()Sx 得到三次樣條插值函數(shù)。 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 具體步驟 如下： 第一步 ：推導(dǎo) ()Sx 用iM表示的形式 由于 ()Sx 是三次多項(xiàng)式，因此可以設(shè) 1111() iii i ii i i ix x x xS x M Mx x x x???????? ???? 對(duì)上式兩次積分，并利用插值條件可以確定出兩個(gè)積分常數(shù)，可得用iM表示的三次樣條插值函數(shù) 33 221 1 111( ) ( )( ) ( ) ( )6 6 6 6i i i i i ii i i i i i ii i i ix x x x M x x M x xS x M M y h y hh h h h? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 第二步 ：導(dǎo)出含iM的 n+ 1 階的線(xiàn)性方程組 利用1( ) , ( )iiS x S x?? ?的 表 達(dá) 式 以 及 它 們 在 節(jié) 點(diǎn)ix處 的 連 續(xù) 性 條 件1( 0 ) ( 0 )i i i iS x S x??? ? ? ?，可以得到線(xiàn)性方程組 112 , 1 , 2 , .. ., 1i i i i i iM M M f i n????? ? ? ? ?1 1 11 1 16, 1 , ( )i i i i ii i i ii i i i i ih y y y yfh h h h h h? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ???其中 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 邊界條件 1 （壓緊樣條）：00( ) , ( )nnS x m S x m?? ??已知。 由這兩個(gè)條件可以分別得到 100 1 0 011116262nnn n n nnnyyM M f mhhyyM M f mhh???? ?? ? ? ??????? ?? ? ? ????? 因此，原方程組可以表示為 0011111111212212nnnnnnMfMfMfMf????????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 邊界條件 2( 端點(diǎn)曲率調(diào)整樣條 ) ： 00( ) , ( )nnS x M S x M?? ???? 已知，上述方程組變?yōu)? 1 1 011222222 121 112222nn nnn n n n nfMMMfMfM f M??????? ??? ??? ????????????????????????? ??????????????? ??? ?? ??多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 【 例 】 ：設(shè)曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0 ,0 ），（ 1 ,0 . 5 ），（ 2 ,2 . 0 ），（ 3, 1. 5 ），在下列邊界條件下求對(duì)應(yīng)的三次樣條曲線(xiàn)： （ 1 ）、壓緊樣條： S (0 ) 0 .2 , S ( 3 ) 1? ? ??? ； （ 2 ）、自然樣條： S (0 ) 0 , S ( 3 ) 0???? ??。 【 解 】 ： N= 3 ； 第一步：計(jì)算 k k kh , ,?? ： 第二步：對(duì)應(yīng)于不同的邊界條件，求出三次樣條。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 300 . 511 . 522 . 5320321322S ( x ) 0 .4 8 x 0 .1 8 x 0 .2 x , 0 x 1S ( x ) 1 .0 4 ( x 1 ) 1 .2 6 ( x 1 ) 1 .2 8 ( x 1 ) 0 .5 , 1 x 2S ( x ) 0 .6 8 ( x 2 ) 1 .8 6 ( x 2 ) 0 .6 8 ( x 2 ) 2 .0 , 2 x 3? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 1） 壓緊樣條 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 300 . 511 . 522 . 530321322S ( x ) 0. 4 x 0. 1 x 0 x 1S ( x ) ( x 1 ) 1. 2 ( x 1 ) 1. 3 ( x 1 ) 0. 5 1 x 2S ( x ) 0. 6 ( x 2 ) 1. 8 ( x 2 ) 0. 7( x 2 ) 2. 0 2 x 3? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 2） 自然樣條 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 二元插值 給定 xy 平面上的一組 不同的點(diǎn) ( , ) , 1 , 2 , ...,iix y i n? 以及與之對(duì)應(yīng)的一組數(shù) , 1 , 2 , .. .,iz i n? ，尋找一個(gè)光滑而易于計(jì)算的二元函數(shù) ( , )z F x y? ，使得 ( , )i i iF x y z? ，i= 1 ,2 ,...,n. 依據(jù)數(shù)據(jù)的規(guī)則與否，常見(jiàn)可分為規(guī)則數(shù)據(jù)和散亂數(shù)據(jù)插值。