數值計算方法三次樣條插值-資料下載頁
2025-05-14 07:52本頁面
【正文】 ????????miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyxyyxxxxxxxxnkxxx0001002010010200001), . . . ,2,1,0()(1)(?????????????最小二乘的法方程為時，當例題 ? 例 設函數 y=f(x)的離散數據如下表所示 試用二次多項式擬和上述數據 ,并求平方誤差 . 0 1 2 3 4 5 0 1 iixiy? 解 由式 ()可得 ? 解方程組得 ? 所以擬合二次函數為 ???????????????????????????????0 8 6 1 5 6 6 210???0 1 , , ? ? ?? ? ?21 .0 0 6 3 2 1 4 2 8 0 .8 6 2 5 8 9 2 9 5 0 .8 4 2 4 1 0 7 0 4y x x? ? ?? 平方誤差為 01 7 1007 8 242211002222????????????????所以f? 例 地球溫室效應問題 ? 下表統計了近 100年內地球大氣氣溫上升的數據 .試根據表中數據建立一數學模型即擬和曲線 ,并根據這一模型 ,預報地球氣溫何年會比 1860年的平均溫度高 7oC年份 N 1860年后地球氣溫增加值 年份 N 1860年后地球氣溫增加值 1880 1940 1890 1950 1900 1960 1910 1970 1920 1980 1930 Ct0Ct0? 解 為簡化數據 ,從 1880年起年份記 N,其變換 n=(N1870)/記為 t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴大 100倍 ,根據新數據繪制圖 (P119) ? 從圖 ,氣溫 t與變換 n大致服從指數函數增長過程 ,因此 ,可以假設 t與 n滿足指數函數關系 ? 為決定參數 α,β將上式改寫成 nte ???l n l ntt????? 記 則有 ? 這是已知數據相應地變?yōu)槿缦卤硭? l n , , l n ,y t x n a b??? ? ? ?bxay ??n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ln1 ln2 ln3 ln4 ln6 ln8 ln10 ln13 ln19 ln24 ln32 ty ln?? 由式 (),取 n=1,m=10,并將上表已知數據帶入得 解方程組得 : 1 1 6 5 2 1 .4 5 0 9 5 0 7 86 5 5 0 6 1 6 4 .2 1 7 4 2 4 8abab???????1 . 1 4 3 6 9 5 1 0 80 . 3 0 7 2 9 2 9 6 9aeb??? ??? ???所以,3 0 7 2 9 2 9 6 ,1 3 4 2 6 4 3 4 ?? ba? 相應的 t 與 n 的指數型擬合曲線關系為 ? 就是所求地球溫室效應的指數函數的數學模型 ,以此進行預報 ,即已知 t值求 0. ?l n ( / 1 . 1 4 3 6 9 5 1 0 8 ) / 0 . 3 0 7 2 9 2 9 6 61 8 7 0 1 0ntNn???? 以地球氣溫比 1860年上升 為例 ,即以t=700代入上式可得 : N(7)=2078(年 ) 7oC 矛盾方程組的最小二乘解 ? 設矛盾方程組 ? 這里 mn,記 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2( 4. 5. 18 )nnnnm m m n n mx x x bx x x bx x x b? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ????? ? ? ??1122( ) , , ,ij m nnnxbxbA a x bxb?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 則上式可簡記為 Ax=b. ? 矛盾方程組的最小二乘解 x*是指滿足 22 *2 2m in A x b A x b? ? ?? 引理 設 則 B為半正定對稱方陣 ,當 R(A)=n,則 B是正定對稱方程 .若 A的各列線性無關 ,則 是非奇異方陣 . ,m n TA R B A A???TB A A?? 定理 設 且各列向量線性無關 ,則 (1)矛盾方程組 ()的法方程組 恒有解 。 (2)設 x* 是法方程組 的解 ,則 x* 是矛盾方程組 ()的最小二乘解 . nmRA ??TTA Ax A b?TTA Ax A b?? 定理 :實驗數據 的曲線擬合最小二乘法本質上就是矛盾方程組 的最小二乘解 . ),...2,1,0(),( miyx ii ?0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 1 1 1 1 10 0 1 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )nnnnm m n n m mx x x yx x x yx x x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ????? ? ? ??
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