【正文】 ?????????????? 滿足次的多項(xiàng)式超過(guò)要求一個(gè)次數(shù)不和上已知個(gè)節(jié)點(diǎn)著重討論一種情況：在次多項(xiàng)式，且滿足是都和函數(shù)采用基函數(shù)法，插值基12),1,0)(()(??nnjxx jj ???( 5 .2 ) ),1,0,( .)( ,0)( 。 6 分段低次插值 一、高次插值的病態(tài)性質(zhì) 龍格 (Runge)現(xiàn)象 4 2 2 412例如：對(duì)函數(shù) 在區(qū)間 [5， 5]內(nèi)進(jìn)行插值，并對(duì)比插值結(jié)果。 方法三、采用分段光滑插值，即樣條插值。 ）（上在每個(gè)小區(qū)間由定義知6 . 1 , ,)( ,],[,111111?????????????? kkkkkkkkkkhkkxxxfxxxxfxxxxxIxxkx 1?kx nx1x）（或，得到誤差估計(jì)時(shí)，記當(dāng)6 . 4 .8|)()(|ma x ,|))((|ma x2|)()(|ma x |)(|ma x],[)(22122211hMxIxfxxxxMxIxfxfMbaCxfhbxakkxxxhxxxbxakkkk?????????????????????}{m a x 1 kkk xxh ?? ? 類(lèi)似地，為求 f(x) 的近似值，也可選取距 x 最近的三個(gè)結(jié)點(diǎn) xk1, xk, xk+1進(jìn)行二次插值，即取 : ? ?1 1 1211 1 1 1 111 1 11 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),( ) ( )k k k kkkk k k k k k k kkkk k kk k k kx x x x x x x xP x P x y yx x x x x x x xx x x xy x x xx x x x? ? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????這種插值稱為 分段二次插值 （又稱分段拋物插值） 三、分段二次插值 11 [ , 1 ]( 1 )( ) ( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 )k k k kkkx k x kP x y y y x k y x kk k k k ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?解 ： 在 每 個(gè) 分 段 區(qū) 間 上( 1 ) 0 .5 , [ 0 , 1 ]0 .5 2 ) 0 .2 1 ) , [ 1 , 2 ]() 0 .2 3 ) 0 .1 2 ) [ 2 , 3 ]0 .1 4 ) 0 .0 5 3 ) [ 3 , 4 ]0 .0 5 8 8 2 5 ) 0 .0 3 8 4 6 4 ) [ 4 , 5 ]x x xx x xPx x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ( (于 是 ， ( ( ( ( ( (( 4. 5 ) 0. 05 88 2( 4. 5 5 ) 0. 03 84 6( 4. 5 4) 0. 04 86 ? ? ? ? ? ?21 ( ) [ 0 , 5 ]1( )y f xxf???已 知 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 取 等 距 插 值 節(jié) 點(diǎn) ( 如 下 表 ) ，求 區(qū) 間 上 的 分 段 線 性 插 值 函 數(shù) ， 并 利 用 它 求 的 近 似 值 .例四、分段三次埃爾米特插值 分段線性插值函數(shù)導(dǎo)數(shù)間斷，若已知節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)，可構(gòu)造一個(gè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的插值函數(shù) Ih(x)，滿足 .],[)( ( 3 ) ,1,0,)(,)( ( 2 ) ],[)( ( 1 ) 11上是一個(gè)三次多項(xiàng)式在每個(gè)小區(qū)間 ???????kkhkkhkkhhxxxInkfxIfxIbaCxI?( 6 . 5 ) .)()( 21 21)(1211211121112111??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhfxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxI167。3],[ )1:)( 10110三次樣條函數(shù)定義4上的是節(jié)點(diǎn)則稱直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)在每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有次的多項(xiàng)式是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)在每個(gè)小區(qū)間滿足函數(shù)，若存在對(duì)于給定節(jié)點(diǎn)njjnxxxxsxxxsbxxxa????????一、樣條插值的概念 .)(7 . 1 ,0,)( )3),0()(三次樣條插值函數(shù)是則稱）（并滿足若在節(jié)點(diǎn)上給定函數(shù)值xsnjyxsnjyxfjjjj??????:)( 的確定三次樣條插值函數(shù) xs??????????? .),(,),()(1101nnn xxxxsxxxxsxs ?.44],[ 1 個(gè)參數(shù)個(gè)待定系數(shù)，共上要確定在每個(gè) nxx jj ?）（上滿足連續(xù)性條件內(nèi)節(jié)點(diǎn)因二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故在7 . 2 )1,1( ).0()0( ),0()0(),0()0( ?????????????????njxsxsxsxsxsxsxjjjjjjj?.24 個(gè)條件再加上插值條件，共 ?n.2 邊界條件點(diǎn)加上個(gè)條件，通常在兩個(gè)端還需:常見(jiàn)三種邊界條件.)(,)(: 00 nn yxsyxs ??????第一種邊界條件.)(,)(: 00 nn yxsyxs ??????????第二種邊界條件.0)(,0)(:, 0 ?????? nxsxs自然邊界條件特別地.)0()0( ,).0()0( ),0()0( :0000已經(jīng)成立故注意：因插值條件邊界條件）第三種邊界條件（周期????????????????nnnnxsxsyyxsxsxsxs其它邊界條件 : “ 非扭結(jié) ” 邊界條件，即第一、第二段多 項(xiàng)式的三次項(xiàng)系數(shù)相同，最后一段和倒數(shù)第二段三 次項(xiàng)的系數(shù)相同。 注： 三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于 S(x)自身光滑 ，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在 2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而 Hermite插值依賴于 f 在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。 ② 計(jì)算 Mj (追趕法等 ) 。 ④ 找到 x 所在區(qū)間 ( 即找到相應(yīng)的 j ) 。 .)(,)(, ,]30,[)( 5 032103210插值函數(shù)的三次樣條試求滿足邊界條件，在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值：上有定義在設(shè)?????????????nxsxsffffxxxxxf例題.]),[(6,7 0 0 0 ],[6,],[6,)(20)],[(6,21,1310,21 ,133 3232332122101010002121121001????????????????????????????xxffhdxxxfdxxxfdfxxfhdhhhhhh????：解., 7 0 0 0 0 0 0 212212 210321021211310133???????????????????????????????????????????????nMMMMMMMM得到 ,)6()6( 6)(6)()( :)( 211121331jjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxs???????????????代入????????????????????????????????????],30,29[ ),29()29()30()30(],29,28[ ),28()28()29()29(],28,[ ),()()28()28()( 333333xxxxxxxxxxxxxxxxS得到三、誤差界與收斂性 .83,241,3845( 7 . 1 7 ) .2,1,0 ,|)(|ma x|)()(|ma x),1,1,0(,ma x ,)( ,],[)( 42104)4()()(1104?????????????????????CCCkhxfCxsxfnixxhhhxSbaCxfkbxakkkbxaiiiini其中則有估計(jì)式令件滿足第一或第二邊界條設(shè)?定理插值法小結(jié) ? Lagrange : 給出 y0 … yn，選基函數(shù) li(x)，其次數(shù)為 節(jié)點(diǎn)數(shù) –1。 ? Hermite： 給出 yi 及 yi ’，選 hi(x) 及 hi(x) 。