插值法與最小二乘法-閱讀頁(yè)
2025-05-14 07:50本頁(yè)面
【正文】 3 )2 (0 .9 8)L ?(3)2 ()L15 三、分段低次插值的算法設(shè)計(jì) (略 ) 分段低次 Lagrange插值的特點(diǎn) 計(jì)算較容易 可以解決 Runge現(xiàn)象 但插值多項(xiàng)式分段 插值曲線在節(jié)點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn) 插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo) 16 Newton插值法 167。1 分段插值法 167。從上節(jié)可知 ,如果插值多項(xiàng)式的次數(shù)過(guò)高，可能產(chǎn)生 Runge現(xiàn)象，因此，在構(gòu)造插值多項(xiàng)式時(shí)常采用分段 插值的方法。)(xlj ??? ??? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??我們知道 ,Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為 形式上太復(fù)雜 ,計(jì)算量很大 , 新增一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí) , 每個(gè)基函數(shù)必須重新計(jì)算 , 人們希望增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí) , 前面的計(jì)算結(jié)果對(duì)于后來(lái)的計(jì)算仍有用 . 為此 , 下面介紹一種具有結(jié)果繼承性的插值法 Newton插值法 17 ,1 ,0xx? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?考慮多項(xiàng)式組 顯然線性無(wú)關(guān)， 因此，可以作為插值基函數(shù) ,ix設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為 nif i ,1,0, ??函數(shù)值為nifxP ii ,1,0,)( ???插值條件為)())(())(()()(110102022????????????nn xxxxxxaxxxxaxxaaxP??具有如下形式設(shè)插值多項(xiàng)式 )( xP18 nifxPxP ii ,1,0,)()( ???應(yīng)滿足插值條件000 )( afxP ??有 )()( 011011 xxaafxP ????00 fa ?01011 xxffa???))(()()( 12022021022 xxxxaxxaafxP ???????12010102022 xxxxffxxffa???????再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜 為此引入差商和差分的概念 19 一、差商 (均差 ) 定義 1. nifxxfii ,1,0,)( ??處的函數(shù)值為在互異的節(jié)點(diǎn)設(shè)稱 )(],[ jixx ffxxfjijiji ????)(,)( 均差一階差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)為 ji xxxf[ , ] [ , ][ , , ] ( )i j j ki j kikf x x f x xf x x x i j kxx?? ? ??的二階差商關(guān)于為 kji xxxxf ,)(依此類(lèi)推 稱 20 0 1 1[ , , , , ]kkf x x x x?差商具有如下性質(zhì) (請(qǐng)同學(xué)們自證 )： 且的線性組合表示可由函數(shù)值階差商的,)(,),(),(],[)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf?? ?0 1 1 1 2 10[ , , , ] [ , , , , ]k k kkf x x x f x x x xxx?????稱 為 ()fx 關(guān) 于 節(jié) 點(diǎn) 01 , , , kx x x 的 k 階 差 商 . ],[ 110 kk xxxxf ???? ?? ?????ki kiiiiiiixxxxxxxxxf0 110 )())(()()(??21 (2) 差商具有對(duì)稱性 ,即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序 ,差商的值不變 ],[ 210 xxxf ],[ 120 xxxf? ],[ 012 xxxf?如 ,)()3( 10) 的區(qū)間存在時(shí)在包含節(jié)點(diǎn)當(dāng) （ kk xxxxf ?使得之間必存在一點(diǎn)在 , 10 ?kxxx ?],[ 10 kxxxf ?用余項(xiàng)的 相等證明 !)()(kf k ??7 4 0 1 70 1 8( ) 3 1 , [ 2 , 2 , , 2 ][ 2 , 2 , , 2 ] .f x x x x ff? ? ? ?例 求 及22 差商的計(jì)算方法 (表格法 ): 規(guī)定函數(shù)值為 零階差商 差商表 )()()()()()(4433221100xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四階差商三階差商二階差商一階差商],[ 10 xxf],[ 21 xxf],[ 32 xxf],[ 43 xxf],[ 210 xxxf],[ 321 xxxf],[ 432 xxxf],[ 3210 xxxxf],[ 4321 xxxxf ],[ 410 xxxf ?如果用 Matlab計(jì)算均差 , 可用下面的主句 : n=length(x)。 %x, f為節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值向量 for j=2:n for i=n:1:j d(i)=(d(i)d(i1))/(x(i)x(ij+1))。iiii i jyyyxx?????? 3. :nyy y?
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