計算方法-插值方法-文庫吧
2025-04-23 04:10 本頁面
【正文】 i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( ??? ??? njij jiji xxxxxl0)()()(??? niiin yxlxL0)()(Lagrange Polynomial 與 有關(guān)，而與 無關(guān) 節(jié)點 f 插值余項 作為 的近似一定存在誤差，用 來表示它的截斷誤差， 也稱之為余項。下面，我們導(dǎo)出其具體表達(dá)形式。 ()px ()fx ( ) ( ) ( )R x f x p x??()Rx【 定理 2】 設(shè) 在 [a,b]上連續(xù) ， 在 (a,b)內(nèi)存在 ， 節(jié)點 ， 是滿足插值條件 ()的插值多項式 ， 則對任何 ， 插值余項 ()()nfx ( 1) ()nfx?01 na x x x b? ? ? ? ?()px[ , ]x a b?( 1 )01()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nnfR x f x p x x x x x x xn??? ? ? ? ? ??( , )ab? ?注： ? 通常不能確定 ?x , 而是估計 , ?x?(a,b) 將 作為誤差估計上限。 1)1( )( ?? ? nn Mxf??? ?? niin xxnM01 ||)!1(?當(dāng) f(x) 為任一個次數(shù) ? n 的 多項式 時， , 可知 ，即插值多項式對于次數(shù) ? n 的 多項式是 精確 的。 0)()1( ?? xf n0)( ?xR nQuiz: 給定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪個是 l2(x)的圖像？ y 0 1 1 2 3 4 5 6 x y 0 1 1 2 3 4 5 6 x y 0 1 1 2 3 4 5 6 x A B C ? 例： 已知 2 33s i n,214s i n,216s i n ??? ???分別利用 sin x 的 1次、 2次 Lagrange 插值計算 sin 50? 并估計誤差。 解： 0x 1x 2x185500 ??n = 1 分別利用 x0, x1 以及 x1, x2 計算 4,6 10?? ?? xx?利用 216/4/ 6/214/6/ 4/)(1 ???????? ?? ??? ? xxxL這里 )3,6(,s i n)(,s i n)( )2( ????? ???? xxxfxxf而 )4)(6(!2 )()(,2 3s i n21 )2(1 ???? ????? xxfxR xx)185( 1 ???? ?R ?sin 50? = … ) 18 5 ( 50 sin 1 0 ? ? ? L 外推 /* extrapolation */ 的實際誤差 ? ? 3,4 21 ?? ?? xx?利用 sin 50? ? , 185~ 1 ???????? ?R內(nèi)插 /* interpolation */ 的實際誤差 ? 內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的 x 所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。 n = 2 23))(())((21))(())((21))(())(()(4363463464363646342 ??? ?????? ?????? ????????????????????? xxxxxxxL) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? ? L 2 3c os21。)3)(4)(6(!3c os)(2 ???????xx xxxxR ????? 2 ???????? ?R ?sin 50? = … 2次插值的實際誤差 ? 高次插值通常優(yōu)于低次插值 但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿 …… 計算機(jī)實現(xiàn) x 1 221 ( ) 1 , 2 , 31 2 3 e 787 944 1 533 528 3 978 706 8 e . ( 2) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( ) e e( 1 2) ( 1 3 ) ( 2 1 ) ( 2 3 )???? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?例 已 知 在 的 值 如 下試 用 二 次 插 值 公 式 求 的 近 似 值 ， 并 進(jìn) 行 誤 差 估 計解 ： 二 次 插 值 多 項 式 為xf
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