計(jì)算方法-插值方法-wenkub.com
2025-05-09 04:10 本頁面
【正文】 利用 ，還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)到 N(p?1)/2 次乘法。 logN 由于 W 的周期性 W qN+s = W s , W k j 實(shí)際上只有 這 個(gè)不同的值。i(xj)= ?ij i,j=0,1,2……n 從而可設(shè) Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2 hi(x)= (cix+di)[li(x)]2 ai,bi ,ci,di為待定系數(shù) ,分別由 Li(xi)=1 和 Li′ (xi)=0 及 hi′ (xi)= 1 (i=0,1,2…… ,n)確定 . 2n個(gè)二重零點(diǎn) xk ??? ??? njij jiji xxxxxl0)()()( 這里 ? ? ? ? ? ?20112??????? ? ???????ni i ik ikkiL x x x l xxx? ? ? ? ? ?2??i i ih x x x l x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?210??????????nn i i i iiH x f x L x f x H x那么對(duì)應(yīng)的 2n+1次 Hermite插值多項(xiàng)式為 三次 Hermite插值函數(shù)的構(gòu)造 (n=1,2n+1=3) 已知數(shù)表： x x0 x1 y y0 y1 y′ y 0′ y 1′ 求一個(gè)三次 Hermite插值函數(shù) H3(x). 解 :H3(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+ y0′ h0(x)+ y1′ h1(x) 對(duì) x=x0,有 L0(x0)=1 L1(x0)=0 h0(x0)=0 h1(x0)=0 L0′ (x0)=0 L1′ (x0)=0 h0′ (x0)=1 h1′ (x0)=0 對(duì) x=x1,有 L0(x1)=0 L1(x1)=1 h0(x1)=0 h1(x1)=0 L0′ (x1)=0 L1′ (x1)=0 h0′ (x1)=0 h1′ (x1)=1 Li(x)= [1a *(xx0)/(x1x0)] li 2(x) hi(x)= (xxi) li 2(x) 解之得 L0(x)=[1+2*(xx0)/(x1x0)][(xx1)/(x0x1)]2 h0(x)=(xx0)[(xx1)/(x0x1)]2 同理有 L1(x)=[1+2*(xx1)/(x0x1)][(xx0)/(x1x0)]2 h1(x)=(xx1)[(xx0)/(x1x0)]2 例 3 給定函數(shù)值表如下 : 1 2 3( ) 2 4 12( ) 3iiixfxfx?33333 ( ) ,:( ) ( ) ( 1 , 2, 3 ) , ( 2 ) 3( ) ( ) ( ) .HxH i f i i HR x f x H x?? ? ???求一次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式使之滿足如下插值條件并寫出截?cái)嗾`差 的表達(dá)式22323323( ) 3 7 6( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 2 ) 3 , 2 .( ) 2 9 1 5 6p x x xH x p x k x x xHkH x x x x? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? 設(shè)所求多項(xiàng)式為由條件 得 故2: ( ) ( ) ( 1 , 2 , 3 ) ,??解 先 求 滿 足 插 值 條 件的 二 次 多 項(xiàng) 式 得p i f i i( 4 )2:() ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) , ( 1 , 3 )4!fR x x x x??? ? ? ? ?截 斷 誤 差 為實(shí)際問題中還會(huì)有其他的插值問題 ,這類問題可用Lagrange插值基函數(shù)的方法解決 .如已知數(shù)據(jù)表 ： x 0 1 y y0 y1 y′ y 0′ 求過 0,1兩點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式 p(x),滿足條件 p(0)= y0 , p′ (0)= y0′ , p(1)= y1 解 : 他有三個(gè)條件 ,故 p(x)可設(shè)為二次多項(xiàng)式 p(x)= y0 L0(x)+ y1 L1(x) + y0′ h0(x) 這里 L0(x), L1(x), h0(x)都是二次多項(xiàng)式 ,由插值條件得 對(duì) x=x0=0有 L0(0)=1 L1(0)=0 h0(0)=0 L0′ (0)=0 L1′ (0)=0 h0′ (0)=1 對(duì) x=x1=1有 L0(1)=0 L1(1)=1 h0(1)=0 由條件 L0(0)=1 , L0′(0)=0 , L0(1)=0 ,可設(shè)
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