【正文】 x x x xf x f x x x xIx x x x xx x x xf x f x x x xx x x x????????????????????? ??????????? ???幾何意義： 以每兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)為插值點(diǎn)構(gòu)造一次插值 (即直線 段 ), 用各直線段所連成的折線近似代替曲線 y = f (x) . 誤差估計(jì)： 若 f (x) 在插值區(qū)間 [a , b]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并記 ，則分段線性插值的余項(xiàng)有如下估計(jì)式： 2 m a x | ( ) |a x bM f x?? ???221| ( ) ( ) | , [ , ]8hf x I x M h x a b? ? ? ? 二、分段二次插值 設(shè) , 已知 f (x)在節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 . 在區(qū)間 上采用二次插值 , 此時(shí)插值節(jié)點(diǎn)為 3( ) [ , ]f x C a b?1 1 12 2 20 1 21 nna x x x x x x x b??? ? ? ? ? ? ? ? ?11220( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , , ( )inif x f x f x f x f x?1[ , ] ( 1 , 2 , , )iix x i n? ? ()2 ()iPx121 ,iiix x x? ?12121 1 12 2 21212() 1211 1 1111( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , [ , ] ( 1 , 2 , , )( ) ( )iii iii ii i i i ii i ii ii i ii i i ix x x x x x x xP x f x f xx x x x x x x xx x x xf x x x x i nx x x x? ?? ?? ? ?? ? ?? ??? ??? ????? ? ? ???? ? ???截?cái)嗾`差 12( ) ( )2 2 1()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3!iiii ifR x f x P x x x x x x x?? ????? ? ? ? ? ?若節(jié)點(diǎn)等距 , 記 , 則 1iih x x ???12 11,2i i ii hx x x x h??? ? ? ? ?設(shè) 12 1[ 1 , 1 ] , [ , ]2 iii hx x s s x x x??? ? ? ? ? ?則 1212( ) ( )221( ) ( )2( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )22iiiii ihP x P x ss s s sf x s s f x f x?? ?? ? ???? ? ? ? ?此時(shí) 3()21()( ) ( 1 ) ( 1 ) , [ 1 , 1 ] , [ , ]3! 8iiifhR x s s s s x x? ?????? ? ? ? ? ? ?若 3[ , ]m a x | ( ) |x a b f x M? ??? ?則 3( ) 33233| ( ) | | ( 1 ) ( 1 ) | , ( 1 , 2 , , )4 8 2 1 6i MhR x s s s M h i n? ? ? ? ?()2 ( ) ( ) ( 0 )iP x f x h? ? ?例 : 已知 y = f (x) 的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下 求分段線性插值和分段二次插值 P1(x) 和 P2(x) . x 0 1 2 3 4 5 6 f (x) 1 5 3 1 2 4 8 167。也就是說， Lagrange 插值不具有繼承性。 ()00 0 01()[ , , ,P r o :!p ]nnfxf x x xn??2 202 211 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ,1 1 41 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )1 1 4x x xxxx x xxx??? ? ???? ? ???????? ? ???? ? ??????0 0 1 1 0 0 1 132( ) ( ) ( ) ( ) ( )44H x x y x y x m x mx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?(2) 待定系數(shù)法 令 ，由條件可得： 23()H x a bx c x d x? ? ? ?9,1,2 3 1 5 ,2 3 1 .a b c da b c db c db c d? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ???解得： 0 , 4 , 4 , 1a b c d? ? ? ? ?32( ) 4 4H x x x x? ? ? ?(3) 插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 191 9 151 1 5 51 1 1 3 1???????2232( ) 9 1 5 ( 1 ) 5 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )44H x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?三、 特殊情形的 Hermite 插值 在帶導(dǎo)數(shù)的插值問題中 , 有時(shí)插值條件中的函數(shù)值個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等 , 為特殊情形的 Hermite插值 . 如 : 給定函數(shù)表如下 x x0 x1 x2 f (x) y0 y1 y2 f 39。 其中 , 插值基函數(shù) ?1 1 11 1 1( ) /( ) , [ , ]( ) ( ) /( ) , [ , ] 0 , 1 , 2 , ,0,i i i i ii i i i i ix x x x x x xl x x x x x x x x i nx? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ???? 其 他當(dāng) i = 0時(shí)沒有第 1式，當(dāng) i = n 時(shí)沒有第 2式。 能否重新在 Pn中尋找新的 基函數(shù) ？ 希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)， 只在原有插值的基礎(chǔ)上附加部分計(jì)算量（或者說添加一項(xiàng)） 即可。(x) m0 m1 求次數(shù)不高于 4 的多項(xiàng)式 H4(x) , 使之滿足 : 44( ) ( 0 , 1 , 2 )( ) ( 0 , 1 )iiiiH x y iH x m i???? ? ???Hermite插值多項(xiàng)式的求法 2: (特殊情形的 Hermite插值 ,即 插值條件中函數(shù)值個(gè)數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等 ) (1) 待定系數(shù)法 (Newton插值多項(xiàng)式或一般情形的 Hermite 插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) )； (2) 利用插商表 。記子區(qū)間的 ( ) [ , ] , 1f x C a b n?? 0{}niix ?01: na x x x b? ? ? ? ? ?0x nx11, nxx?101m a x { }iiinh x x?? ? ???最大長度 則稱 分段線性函數(shù) 0( ) ( ) ( )nh i iiI x f x l x?? ?為 f (x) 在區(qū)間 [a , b]上關(guān)于劃分 的分段線性插值多項(xiàng)式。 本講主要內(nèi)容 : ● Newton插值多項(xiàng)式的構(gòu)造 ● 差商的定義及性質(zhì) ● 差分的定義及性質(zhì) ● 等距節(jié)點(diǎn) Newton插值公式 問題 1 求作 n 次多項(xiàng)式 ()nNx0 1 0 2 0 10 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnN x c c x x c x x x xc x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( ) ( ) , 0 , 1 ,n i iN x f x i n?? (2) 為了使 的形式得到簡化 ,引入如下記號(hào) ()nNx0110 1 1( ) 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , 1 , 2 ,i i iixx x x xx x x x x x i n??? ??????? ? ? ? ? (3) (1) 一、 基函數(shù) 使?jié)M足 De f 1: 由式 (3)定義的 n+1個(gè)多項(xiàng)式 稱為 Newton插值 的以 x0 , x1,…, xn 為節(jié)點(diǎn)的 基函數(shù) , 即 01( ) , ( ) , , ( )nx x x? ? ?0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nN x c x c x c x? ? ?? ? ? ?可以證明 ,這樣選取的基函數(shù)是 線性無關(guān) 的 , 由此得出的問題1的解 便于求值 , 而且 新增加一個(gè)節(jié)點(diǎn) xn+1時(shí) 只需加一個(gè)新項(xiàng) 即 11()nncx???1 0 0 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nN x c x c x c x c x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?而 1 (