【正文】 ????規(guī)定： 一個點 x0 的零階差商為 f (x0) . 例： 設(shè) 74( ) 3 25f x x x x? ? ? ?求 和 0 1 7[ 2 , 2 , , 2 ]f 0 1 8[ 2 , 2 , , 2 ]f差商表 xk f (xk) 一階差商 二階差商 三階差商 …… n 階差商 123onxxxxx1230[][]][[][]nfxfxfxffxx1220311[ , ][ , ][][ , ],nnf x xf x xxf x xfx?23102211[ , , ][ , ,[ , , ]]n n nf x x xfxfxxxxx?? 3 2 10 1 2 3[ , , , ][ , , , ]n n n nfxf x xxxxxx? ? ?01[ , , , ]nf x x x例 1： 已知信息 構(gòu)造 f (x) 的插商表。167。 能否重新在 Pn中尋找新的 基函數(shù) ？ 希望每加一個節(jié)點時， 只在原有插值的基礎(chǔ)上附加部分計算量（或者說添加一項） 即可。 2 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2iiN x f x i??推廣到一般情形 : 令 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 1 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , , ] ( ) ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?可證 Nn (x) 滿足插值條件： 稱之為 n 次 Newton插值多項式 . 或稱為 Newton插值公式 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , ,n i iN x f x i n?? 注： 由 Newton插值公式可以看出 , 每當增加一個結(jié)點時 , Newton插值多項式只在原有插值多項式的基礎(chǔ)上增加一項 , 克服了 Lagrange插值不具備繼承性的缺點 . ],[)()()( 000 xxfxxxfxf ???],[)(],[],[ 101100 xxxfxxxxfxxf ???],. . .,[)(],. . .,[],. . .,[ 0010 nnnn xxxfxxxxfxxxf ????1 2 … … … … n?1 1 + (x ? x0) ? 2 + … … + ( x ? x0)…( x ? xn?1) ? n?1 ...))(](,[)](,[)()( 102100100 ??????? xxxxxxxfxxxxfxfxf)) . . . (](,. . .,[ 100 ???? nn xxxxxxf))() . . . (](,...,[ 100 nnn xxxxxxxxxf ???? ?Nn(x) Rn(x) 差商推導 Newton插值 ： (利用差商的定義 ) Newton插值的余項： 由插值的唯一性或上述推導知 ( 1 )0 0 1()( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n n nfR x f x x x x x x x xn? ???? ? ? ? ?例 3: 給定 f (x)=ln x的數(shù)據(jù)表 xi f (xi) 1. 構(gòu)造差商表 2. 分別寫出二次 、 四次 Newton插值多項式 解 : 差商表 2 .2 02 .4 0 0 .8 7 5 4 72 .6 0 0 .9 5 5 5 1 0 .4 0 0 1 02 .8 0 1 .0 2 9 60 .7 8 8 4 60 .4 3 5 0 50 .0 8 7 3 7 50 .0 2 22 0 .3 7 0 5 5 0 .0 7 3 8 7 53 .0 0 1 .0 9 8 6 1 0 .3 4 4 9 5 0 .0 6 4 0 0 0 .0 1 6 4 6500 .0 0 7 5 5???? xi f (xi ) 一階 二階 三階 四階 N2(x) = + ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) N4(x) = + ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) + ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) ? ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) ( x ? ) 例 4 : 由函數(shù)表求 Newton插值函數(shù) x ?2 ?1 0 1 3 y ?56 ?16 ?2 ? 2 4 0 0 1 0 1 20 1 2 3 0 1 2 3 4( ) 5 6 , [ , ] 4 0 , [ , , ] 1 3[ , , , ] 2 , [ , , , , ] 0f x f x x f x x xf x x x x f x x x x x? ? ? ? ???解 : 3 ( ) 5 6 4 0 ( 2 ) 1 3 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 2 )N x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函數(shù)值的計算 : 秦九韶算法 3 ( ) 5 6 ( 2 ) { 4 0 ( 1 ) [ 1 3 2 ] }N x x x x? ? ? ? ? ? ?例 5 : 推導計算公式 ???nkknP13)( 1 1 2 9 8 3 36 27 19/2 4 100 64 37/2 3 5 225 125 61/2 4 1/4 6 441 216 91/2 5 1/4 0 7 784 343 127/2 6 1/4 0 )4)(3)(2)(1(41)3)(2)(1(3)2)(1(219)1(81)(???????????????nnnnnnnnnnnP解 : 167。記子區(qū)間的 ( ) [ , ] , 1f x C a b n?? 0{}niix ?01: na x x x b? ? ? ? ? ?0x nx11, nxx?101m a x { }iiinh x x?? ? ???最大長度 則稱 分段線性函數(shù) 0( ) ( ) ( )nh i iiI x f x l x?? ?為 f (x) 在區(qū)間 [a , b]上關(guān)于劃分 的分段線性插值多項式。 定理 1： 設(shè) ，則在區(qū)間 [x0 , x1]上滿足插值條件 的不超過 3次的多項式 H (x)存在且唯一，并可構(gòu)造如下： ( ) , ( ) 0 , 1k k k kH x y H x m k?? ? ?1 01( ) [ , ]f x C x x?0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x x y x y x m x m? ? ? ?? ? ? ?其中插值基函數(shù) 為三次多項式 0 1 0 1( ) , ( ) , ( ) , ( )x x x x? ? ? ?220 110 0 01 0 0 1 0 1220011 1 10 1 1 0 1 0( ) 1 2 , ( ) ( )( ) 1 2 , ( ) ( )xx x x x xx x x xx x x x x xx x x xxxx x x xx x x x x x????? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??如果 ，則插值余項為 401( ) [ , ]f x C x x?( 4 )220 1 0 1()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]4!xfR x f x H x x x x x x x x?? ? ? ? ? ? ?其中 在 x0 與 x1 之間。(x) m0 m1 求次數(shù)不高于 4 的多項式 H4(x) , 使之滿足 : 44( ) ( 0 , 1 , 2 )( ) ( 0 , 1 )iiiiH x y iH x m i???? ? ???Hermite插值多項式的求法 2: (特殊情形的 Hermite插值 ,即 插值條件中函數(shù)值個數(shù)和導數(shù)值個數(shù)不相等 ) (1) 待定系數(shù)法 (Newton插值多項式或一般情形的 Hermite 插值多項式為基礎(chǔ) )； (2) 利用插商表 。 分段三次插值能夠保證插值節(jié)點處的光滑性 , 但在節(jié)點處的凹凸性 不能保證與 f (x) 相同 . ( 0 , 1 , , )ix i