【正文】 乘上一個 s 。 ，則有 )()( sFtf ? )]R e [( 0??ssdsFdtft )()()( ?? )]R e [( 0??s?nnnsdsFdtft )()()( ??)()( sFtf ? )]R e [( 0??s??? s dFt tf ?? )()()),0m a x (]R e[( 0??s⑻ 復頻域微分 若 ，則有 ⑼ 復頻域積分 若 ，則有 ). . .210]R e [( 0 ，?? ns ?)(tf )(t?)()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(tf)(lim)(lim)0( 0 sFstff st ???? ?? ?)(tf ??t )(?f )()( sFtf ?,]R e[( 0??s )00 ???? ? )(ssF)(tf )(l i m)(l i m)(0 sFstff st ??? ???⑽ 初值和終值定理 初值定理：若 中不包含沖激函數(shù) 及其各階導數(shù)，并且 ， 則 。 因為 F(s)一般可化為 s的有理分式，將 F(s)展開為比較簡單的部分分式之和，然后利用常用信號的單邊拉氏變換對與單邊拉氏變換的性質(zhì)，就可以十分方便地由 F(s)求取 f(t)。 有理真分式 863)(2 ????ssssF ?)( ?tf42)4)(2(3)( 21????????skskssssF21|)4)(2(3)2(21 ????????sssssk21|)4)(2(3)4(42 ????????sssssk)4121(21)( ???? sssF as ktke ta ??? )(?)()(21)( 42 teetf tt ??? ??例 已知 ，求 解：由題 ，其中 所以 ，利用 為所求。根據(jù)這個關(guān)系，可由系統(tǒng)微分方程得到系統(tǒng)函數(shù) G(s)，同樣也可由系統(tǒng)函數(shù)得到系統(tǒng)的微分方程 。 解：由題 、 ，用時域微分性質(zhì)對系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，有 代入初值，整理得 )()(3)(6)(5)( tftftytyty ???????? )()( tetf t???1)0( ??y 2)0( ?? ?y)()(3)(6)]0()([5)]0()0()([ 2 sFssFsYyssYysysYs ???????? ???)(65 1365 )0()0()5()( 22 sFss sss yyssY ?? ???? ??????)(tyx)(tyf )(ty)(sG )(tg2)0( ?? ?y1)0( ??y有 與 所以 ； 而 所以 因此 且 有 為所求 3425657)(2 ????????ssssssYx )(65s13)(2 sFsssYf ????0,45)( 32 ??? ?? teety ttx1134251165s13)(2 ???????????sssssssYf)()45()( 32 teeety tttf ???? ???0,810)()()( 32 ?????? ??? teeetytyty tttfx25386513)()()(2 ?????????ssssssFsYsG f)()58()( 23 teetg tt ??? ?? R LC系統(tǒng)的復頻域分析 ? 用線性常系數(shù)微分方程描述輸入、輸出關(guān)系的 RLC系統(tǒng)，可以利用單邊拉氏變換的性質(zhì)，將 RLC系統(tǒng)用復頻域模型來表示，大大簡化系統(tǒng)分析與計算。圖 及 有 即 為所求。 如圖 b. ； )1()()(2 ??? tttg ????????0)]([)()( 2nnTttgtf ? 2?T )1(111)()( ss esesssGtg ?? ?????? ?? ???? ???? ??????0 0 220 11)2()](n n snsn eentnTt ??)()()()( 2121 sFsFtftf ??)1(111)1(1)(2 ssseseessF ????????)(sGsLL ?3332321)//()//( )()( Rs RRsRRsRR sFsY ???????)()2(2 1)( sFssY ??)2(21)()()(??? ssFsYsG解： ① 由題，設門信號 ，由圖有 ， 其中 。閉環(huán)根軌跡隨系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化的圖形揭示了開環(huán)零、極點的位置與閉環(huán)系統(tǒng)性能之間的密切聯(lián)系，不僅可以給出閉環(huán)系統(tǒng)時間響應的信息，而且可以給出閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應的信息。 )( sY)( +ssK)( sF — 圖 某二階系統(tǒng) KssKsHsGsGs222)()(1)()(2 ??????022)( 2 ???? KsssDKs 21121 ????、0121212K =2K =2K = 0K = 0 K = K =1K =1?j???? j1??? j1[S ]圖 圖 ? 穩(wěn)定性： 當開環(huán)增益 K由零變化到無窮大時，根軌跡始終在 S平面的左半部 —— 此系統(tǒng)對所有 K 0 都是穩(wěn)定的。 ? 穩(wěn)態(tài)誤差： 開環(huán)傳遞函數(shù)有個位于坐標原點的極點，即系統(tǒng)開環(huán)有一個積分環(huán)節(jié)，為 I型系統(tǒng)，能使階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 ess= 0 ；使斜坡作用下的靜態(tài)速度誤差系數(shù) （即根軌跡上的對應 K值），此時 穩(wěn)態(tài)誤差為 。幅值方程則主要是用來確定真正根軌跡上的 si 點所對應的根軌跡增益 K* 或開環(huán)增益 K 值。 ? 解：由題 p1 = 0， p2= 2， z1= 3，即 n = 2， m = 1， n – m =1，可知此系統(tǒng)只有 2 條根軌跡，實軸上的根軌跡為 [2 ， 0 ] 與（ ∞， 2 ] 區(qū)段，標出根軌跡方向如圖 所示； ? 其中 分離點的坐標由坐標 方程確定，有 ? 解得 )2()3(*)(???sssKsG??j[S]d 1d 2圖 例 )3(1)2(101??????? ddd 21 ???? dd ，)1,0(22 )12()12( ???????? kklkd ???θ 可證：凡有兩個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點的系統(tǒng)，其閉環(huán)根 軌跡必有圓或圓?。粓A心為（ z , 0），半徑為 )()( 21 pzpz ?? 。 ， 無開環(huán)零點 ， 即 n = 3， m = 0， n – m = 3， 由于 ? 4. 廣義根軌跡 ? 1） 參數(shù)根軌跡 ? 按照開環(huán)增益 K或根軌跡增益 K*的變化繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡，而按照其它參數(shù)（時間常數(shù)、反饋系數(shù)等）的變化繪制的根軌跡則稱為參數(shù)根軌跡。 051z2z?j?[ S ]???2 ?? ?2,1p3p 1 0最佳阻尼線1s2s3s?圖 例 jz ??? 52,1 02,1 ?p 103 ??p可求出 新系統(tǒng)的兩個開環(huán)零點與三個開環(huán)極點分別為 )0(1 ??：T改變圖 ，即得到 )0( ??：T如圖 所示。 ? 經(jīng)過修改后的有關(guān)法則變?yōu)? ? 法則四：實軸上的根軌跡區(qū)段 ? 實軸上某區(qū)段存在根軌跡的條件是其右側(cè)開環(huán)零點與開環(huán)極點的數(shù)目之和為偶數(shù)。有時甚至對于只比主導極點離虛軸的距離大 2～ 3倍的次要極點亦可忽略不計。因此，可將此四階閉環(huán)系統(tǒng)近似成閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )8)(6)(22()()()()(2 ???????ssssssFsYsΦjs ??? 12 63 ??s 84 ??s ??z22)(2 ???? sss的二階系統(tǒng)，使系統(tǒng)的分析計算簡化。 一般存在單調(diào)衰減 、 單調(diào)發(fā)散 、衰減振蕩、發(fā)散振蕩、等幅振蕩等情況； 0]R e[ ?is在 [s]平面上的位置， ? ① 單調(diào)衰減 ? ② 單調(diào)發(fā)散 ? ③ 衰減振蕩 ? ④ 發(fā)散振蕩 ? ⑤ 等幅振蕩 ? 3）系統(tǒng)性能指標的定量估算 ? 利用主導極點與偶極子的概念把高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)后，不僅可以按近似的一、二階系統(tǒng)進行定性分析，而且可以直接按一、二階系統(tǒng)的有關(guān)公式進行調(diào)節(jié)時間、峰值時間與超調(diào)量的定量估算；如果把高階系統(tǒng)按三階系統(tǒng)近似并估算性能指標，則可以減少近似誤差。 jz ??? 52,12,1P例 試由 例 參量根軌跡，分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。 )1) ( T1s ( 0 . 1 s ?? s2 . 6F ( s ) Y ( s ))1 0(T ?sss + 1 0 s + 2 . 6F ( s ) Y ( s )a .b .22肯定不是原系統(tǒng)的閉環(huán)零點。 只有完全滿足相方程的點才在真正的根軌跡上 。 。復變量 z 和 s 的關(guān)系則為 由復變函數(shù)有 F(z) 的雙邊 Z逆變換 )()()()()()()( kTtkTfkTttfttftfkkTs ????? ????????????????????kkzkTfzF )()(???????kkzkfzF )()(?????zTsez sTln)/1(? ?? C k zdzzFjkf 1)(2 1)( ?? 2） 雙邊 Z變換的定義和收斂域 ⑴ 雙邊 Z變換的定義 對于離散序列 f(k)(k = 0, 177。 即 其收斂域為圖 圖 例 ?)(kf )2()1( ??? kk ?? )(kf)(kf??? ?? ??????????? ? ????????? 1 1 11)]2()1([)()( k kkkk k zzzzkkzkfzF ??|| 11|||||)(|11 zzzzkf kkkk ?????????? ??????? ||0 zzzzzzzF 11)( 21 ?????? ? )||0( ??? z例 試對有限長序列 ,求 解 : 由題， 的雙邊 Z變換為 即 顯然，當 （除原點以外的整個 [Z]平面）時 , 此級數(shù)收斂，有 的雙邊 Z變換及收斂域。 ④ 無限長雙邊序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z1||z||z2|，即收斂域位于以 |z1|和 |z2|為半徑的兩個圓之間的環(huán)狀區(qū)域。 ① 冪級數(shù)展開法（長除法）：考慮 Z變換的定義中， F(z) 為冪級數(shù)， f (k) 的值則是冪級數(shù)的系數(shù)；因此，可以把 F(z)展開為冪級數(shù)，然后由冪級數(shù)的各項系數(shù)求得逆變換 f (k) 。 )()(2 1)( 1 ?????? ? ? kzdzzFjkf C k?R e [ z ]I m [ z ]0? ?C圖 F(z)的收斂域及反演積分路徑 例 若 ，試求原函數(shù) f(k) 解：由題 , F(z)的收斂域為 |z|1，可知原函數(shù) f (k)為反因 果序列， 用長除法展開為 z 的冪級數(shù)。 下面討論單邊 Z 變換及其性質(zhì)。 () 即為 。 由于單邊 Z 變換的收斂域為 求 F (z) 的單邊 Z逆變換 f