【正文】 分段二次插值不能保證在 處的光滑性 。 10 以 Newton插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) 設(shè) 4 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )H x y f x x x x f x x x x x x xA x B x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?其中 A, B為待定系數(shù) . 顯然 4 ( ) ( 0 , 1 , 2 )iiH x y i??由條件 求得常數(shù) A, B后 , 便可得 H4(x). 4 ( ) ( 0 , 1 )iiH x m i? ??20 以一般情形的 Hermite插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ) 設(shè) 224 3 0 1( ) ( ) ( ) ( )H x H x C x x x x? ? ? ?設(shè) 由條件 H4( x2 ) = y2 求得 C 后 , 便可得 H4(x). 其中 C 為待定系數(shù) , H3(x)為滿足 33( ) , ( ) ( 0 , 1 )i i i iH x y H x m i?? ? ?的次數(shù)不高于 3 的 Hermite 插值多項(xiàng)式 . 顯然 44( ) , ( ) ( 0 , 1 )i i i iH x y H x m i?? ? ?30 類似于一般情形 , 利用差商表可得相應(yīng)插值多項(xiàng)式 例 2: 求不超過 4次的多項(xiàng)式 P (x)，使之滿足插值條件： (0 ) (0 ) 0 , ( 1 ) ( 1 ) 1 , ( 2 ) 1P P P P P??? ? ? ? ?解： (1) 待定系數(shù)法 可得： 4 3 21 3 9()4 2 4P x x x x? ? ?(2) 插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 四階 0 0 10 0 01 1 1 11 1 1 0 12 1 0 1 1 / 2 1 / 4???2 2 2 24 3 21( ) 0 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )41 3 94 2 4P x x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?例 3: 已知 ，求 H3 (x). (0 ) 1 , (0 ) 2 , ( 1 ) 3 , ( 2 ) 4f f f P?? ? ? ?32311( ) 2 144H x x x x? ? ? ? ? ?解： (1) 待定系數(shù)法 設(shè) ，代入條件，可得： 233 ()H x a b x c x d x? ? ? ?11322 4 8 4 1 / 42 1 / 4aaa b c d ba b c d cbd??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ?????(2) 構(gòu)造插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 010 1 21 3 2 02 4 1 1 / 2 1 / 4??223321( ) 1 2 ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )4112144H x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?四 分段 Hermite 插值 De f ： 設(shè)函數(shù) ，對(duì)于劃分 1( ) [ , ]f x C a b?01: na x x x b? ? ? ? ? ?記 ，且 101m a x { }iiinh x x?? ? ???( ) , ( ) , 0 , 1 , 2 , ,i i i iy f x m f x i n?? ? ?則稱分段三次函數(shù) 3 1 1 1 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ , ] , 0 ,1 , 2 , , 1i i i i i i i iiiH x x y x y x m x mx x x i n? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?為 f (x)在區(qū)間 [a , b]上關(guān)于劃分 的分段 Hermite三次插值多項(xiàng)式。 ()00 0 01()[ , , ,P r o :!p ]nnfxf x x xn??2 202 211 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ,1 1 41 ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )1 1 4x x xxxx x xxx??? ? ???? ? ???????? ? ???? ? ??????0 0 1 1 0 0 1 132( ) ( ) ( ) ( ) ( )44H x x y x y x m x mx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?(2) 待定系數(shù)法 令 ，由條件可得： 23()H x a bx c x d x? ? ? ?9,1,2 3 1 5 ,2 3 1 .a b c da b c db c db c d? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ???解得： 0 , 4 , 4 , 1a b c d? ? ? ? ?32( ) 4 4H x x x x? ? ? ?(3) 插商表 xi f ( xi ) 一階 二階 三階 191 9 151 1 5 51 1 1 3 1???????2232( ) 9 1 5 ( 1 ) 5 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )44H x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?三、 特殊情形的 Hermite 插值 在帶導(dǎo)數(shù)的插值問題中 , 有時(shí)插值條件中的函數(shù)值個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等 , 為特殊情形的 Hermite插值 . 如 : 給定函數(shù)表如下 x x0 x1 x2 f (x) y0 y1 y2 f 39。 x?插值基函數(shù)的性質(zhì) : 1,( ) , ( ) 0 , 0 , 10,1,( ) 0 , ( ) , 0 , 10,i k i ki k i kkix x i kkikix x i kki?????? ?? ? ???????? ? ????插值函數(shù)的唯一性： 設(shè) H (x)和 都是滿足插值條件的不超過 3次的 Hermite插值多項(xiàng)式，則 是不超過 3次的多項(xiàng)式，且滿足 這說明 x0 和 x1 都是 P (x)的二重根，從而 P (x)為 4次多項(xiàng)式，這是不可能的。 6. 6 Hermite 插值 分段線性插值簡單易操作 , 但插值曲線不光滑 , 即在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處一節(jié)導(dǎo)數(shù)不連續(xù) , 這種情況往往不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需要 . 為了克服這一缺陷 , 通常添加一階導(dǎo)數(shù)作為插值條件 . 一、 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的情形： 設(shè) x0 , x1為插值節(jié)點(diǎn)， x0 x1，且已知 在區(qū)間 [x0 , x1]上求多項(xiàng)式 H (x)，使得滿足插值條件 ( ) , ( ) 0 , 1k k k ky f x m f x k?? ? ?( ) , ( ) 0 , 1k k k kH x y H x m k?? ? ?由于有 4個(gè)條件，所以 H (x)應(yīng)為次數(shù)不超過 3次的多項(xiàng)式，稱為 Hermite三次插值。 其中 , 插值基函數(shù) ?1 1 11 1 1( ) /( ) , [ , ]( ) ( ) /( ) , [ , ] 0 , 1 , 2 , ,0,i i i i ii i i i i ix x x x x x xl x x x x x x x x i nx? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ???? 其 他當(dāng) i = 0時(shí)沒有第 1式，當(dāng) i = n 時(shí)沒有第 2式。其中 和 稱為 邊界點(diǎn) ， 稱為 內(nèi)節(jié)點(diǎn) 。 等距節(jié)點(diǎn)插值公式 一、 差分的概念及性質(zhì) De f 1: 設(shè) 為等距節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 , 其中 稱為步長 , 則 ()iiy f x? 0 ( 0 , 1 , , )ix x ih i n? ? ?( ) /h b a n??和 11i i ii i iy y yy y y??? ? ?? ? ?分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長的一階向前差分和一階向后差分 . 21 2 121 1 222i i i i i ii i i i i iy y y y y yy y y y y y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?和 分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長的二階向前差分和二階向后差分 . 一般地 111111m m mi i im m mi i i